Momentmagnitudeskala og energi

Momentmagnitudeskalaen er en skala for å måle størrelsen på jordskjelv. Sammenhengen mellom momentmagnituden $M$ og energien $E$ er

M = \frac{2}{3} \lg(E) - 3{,}2.

Energien $E$ måles i joule (J).

Bestem et uttrykk for energien $E$ som løses ut i et jordskjelv, uttrykt ved momentmagnituden $M$ . Bruk dette uttrykket til å regne ut hvor mye energi som løses ut i et jordskjelv som måler $4{,}7$ på momentmagnitudeskalaen.

Hvor mange ganger så stor er energien som løses ut i et jordskjelv, dersom $M$ øker med 1?

Fasit

$E = 10^{\frac{3}{2}(M + 3{,}2)}$ . For $M = 4{,}7$ : $\underline{\underline{E \approx 7{,}08 \cdot 10^{11} \, \mathrm{J}}}$

Energien blir $\underline{\underline{\approx 31{,}6}}$ ganger så stor.

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser uttrykket for $E$ . GeoGebra CAS gir

E = 10^{\frac{3}{2}M + \frac{24}{5}}

som vi kan skrive som

E = 10^{\frac{3}{2}(M + 3{,}2)}.

Vi kan også utlede dette for hånd: fra $M = \dfrac{2}{3}\lg(E) - 3{,}2$ løser vi for $\lg(E)$ :

\lg(E) = \frac{3}{2}(M + 3{,}2) = 1{,}5M + 4{,}8

og dermed

E = 10^{1{,}5M + 4{,}8}.

For $M = 4{,}7$ :

E = 10^{1{,}5 \cdot 4{,}7 + 4{,}8} = 10^{11{,}85} \approx \textbf{7{,}08 \cdot 10^{11}} \, \mathrm{J}.

Det vil si omtrent 708 milliarder joule.

Vi sammenligner energien for momentmagnitude $M+1$ med energien for $M$ :

\frac{E_{M+1}}{E_M} = \frac{10^{1{,}5(M+1)+4{,}8}}{10^{1{,}5M+4{,}8}} = 10^{1{,}5(M+1)+4{,}8 - (1{,}5M+4{,}8)} = 10^{1{,}5} = \sqrt{10^3} = \sqrt{1000} \approx 31{,}6.

Dersom $M$ øker med 1, blir energien som løses ut omtrent $\mathbf{31{,}6}$ ganger så stor.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: logaritmer, eksponentialfunksjoner, modellering
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger