Modellering av skadedyr med logistisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et forskerteam utfører en rekke forsøk der de lar skadedyr invadere ulike typer bolighus. For ett av disse husene er antall dyr etter $t$ dager gitt i tabellen nedenfor.

$t$ (dager)	10	20	30	40	50	60
Antall skadedyr	35	130	245	289	297	300

Krever PC

Lag en funksjon $g$ som beskriver sammenhengen mellom tiden $t$ og antall skadedyr i dette huset.

For en annen hustype er funksjonen $f$ gitt ved

f (t) = \frac{240}{1 + 39 \cdot e^{- 0,15 t}} - 6, der t \geq 10

en god modell for antall skadedyr i huset. Her er $t$ antall dager etter at huset ble invadert.

Kalkulator

Når øker antall skadedyr raskest ifølge modellen $f$ ? Hvor stor er vekstfarten da?

En huseier oppdaget skadedyr i huset sitt. Skadedyrkontrollen fant ut at det var rundt 200 skadedyr i huset. Kontrolløren mener at modellen $f$ ovenfor vil passe godt for å bestemme antall skadedyr i dette huset.

Kalkulator

Hvor lenge hadde det vært skadedyr i huset da det ble kontrollert?

Fasit

$g (t) = \frac{300}{1 + 44,3 \cdot e^{- 0,176 t}}$

Raskest vekst etter $t \approx 24,4 dager$ , vekstfart $9 skadedyr per dag$

Det hadde vært skadedyr i huset i ca. $36 dager$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker logistisk regresjon (RegLogistisk):

g (t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{- b t}}

GeoGebra gir parametrene $N \approx 300$ , $a \approx 44,3$ og $b \approx 0,176$ , slik at

g (t) = \frac{300}{1 + 44,3 \cdot e^{- 0,176 t}}

Se g (blå kurve) i grafen under.

Graf med g(t) og f(t)

Vi finner vendepunktet til $f$ ved hjelp av CAS (Vendepunkt(f)):

f (t) = \frac{240}{1 + 39 \cdot e^{- 0,15 t}} - 6

CAS-utregning

CAS gir vendepunktet $\approx (24,42, 114)$ .

Alternativt: Den logistiske delen $\frac{240}{1 + 39 e^{- 0,15 t}}$ har vendepunkt der nevnerleddet er lik 1, dvs. $39 \cdot e^{- 0,15 t} = 1$ , som gir

t = \frac{\ln 39}{0,15} \approx 24,4 dager

Vekstfarten ved vendepunktet leses av fra CAS ( $f^{'} (24,42) \approx 9$ ), eller beregnes som

f_{\max}^{'} = \frac{N \cdot r}{4} = \frac{240 \cdot 0,15}{4} = 𝟗 skadedyr per dag

Antall skadedyr øker raskest etter $t \approx 24,4 dager$ , og vekstfarten er da $9 skadedyr per dag$ .

Skadedyrkontrollen fant ca. 200 dyr. Vi løser $f (t) = 200$ med CAS (Løs(f(t) = 200, t)):

\frac{240}{1 + 39 \cdot e^{- 0,15 t}} - 6 = 200

CAS gir $t \approx 36,43$ , og fra grafen over ser vi at $f$ skjærer linjen $y = 200$ i punktet $A = (36,43, 200)$ .

Det hadde vært skadedyr i huset i ca. $36 dager$ da det ble kontrollert.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2018, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Logistisk vekst, Derivasjon

Modellering av skadedyr med logistisk funksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Modellering av skadedyr med logistisk funksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Modellering av skadedyr med logistisk funksjon

Modellering av skadedyr med logistisk funksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer