Minst grunnflate i eske med volum som tredjegradspolynom

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En eske har form som et rett prisme der volumet $V$ er gitt ved

V (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 7

Esken har høyde $h = x + 1$ .

Bestem $h$ slik at arealet av grunnflaten blir minst mulig.

Fasit

$h = 3,5$

LøsningsforslagKI-generert

Grunnflaten $G$ er gitt ved $G (x) = \frac{V (x)}{h} = \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 7}{x + 1}$ .

Siden $h = x + 1$ er en faktor i telleren (dette skal vises), utfører vi faktoriseringen ledd for ledd:

\begin{matrix} x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 7 & = (x + 1) \cdot x^{2} - 5 x^{2} + 2 x + 7 \\ = (x + 1) \cdot x^{2} + (x + 1) \cdot (- 5 x) + 7 x + 7 \\ = (x + 1) \cdot x^{2} + (x + 1) \cdot (- 5 x) + (x + 1) \cdot 7 \\ = (x + 1) (x^{2} - 5 x + 7) \end{matrix}

Dermed er

G (x) = \frac{(x + 1) (x^{2} - 5 x + 7)}{x + 1} = x^{2} - 5 x + 7

Dette er en andregradsfunksjon med positiv koeffisient foran $x^{2}$ , så grafen er en parabel som vender oppover. Minimum finner vi i toppunktet (bunnpunktet):

x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2,5

Grunnflaten $G$ er da minst mulig når $x = 2,5$ . Høyden blir dermed

h = x + 1 = 2,5 + 1 = 3,5

Svar: $h = 3,5$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Optimering, Volum, Andregradsfunksjon

Minst grunnflate i eske med volum som tredjegradspolynom

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Minst grunnflate i eske med volum som tredjegradspolynom

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Minst grunnflate i eske med volum som tredjegradspolynom

Minst grunnflate i eske med volum som tredjegradspolynom

Lov på eksamen

Temaer