Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim

En miniubåt passerer 250 meter under en bøye som ligger på havoverflaten.

I et koordinatsystem der $x$ -aksen og $y$ -aksen ligger parallelt med havoverflaten, $z$ -aksen står normalt på havoverflaten, og enheten langs aksene er meter, er posisjonen til miniubåten $t$ sekunder etter passeringen gitt ved

\vec{r}(t) = [6t,\ 7t,\ -250 - 5t + {,}1t^2] \quad , \quad t \in [0, 60]

Bestem farten til miniubåten etter 2 sekunder.

Hvor langt under havoverflaten er miniubåten på det dypeste?

Posisjonen til en fiskestim i området $t$ sekunder etter at miniubåten passerte under bøyen, er gitt ved

\vec{s}(t) = [40+2t,\ 60+2t,\ -250] \quad , \quad t \in [0, 60]

Fiskestimen har en tilnærmet kuleform med radius på 15 meter. Miniubåten er 4 meter bred, 5 meter høy og 8 meter lang.

Gjør beregninger og vurder om miniubåten kommer til å kollidere med fiskestimen.

Fasit

$\approx 10{,}3 \, \mathrm{m/s}$

$312{,}5 \, \mathrm{m}$ under havoverflaten

Minimumsavstand $\approx 39{,}8 \, \mathrm{m}$ — ingen kollisjon

Løsningsforslag

Vi definerer posisjonsvektoren, deriverer og beregner farten ved $t = 2$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS

Farten til miniubåten etter 2 sekunder er $\underline{\underline{\approx 10{,}3 \, \mathrm{m/s}}}$ .

Vi definerer $z$ -koordinaten, løser $z'(t) = 0$ og evaluerer minimumsposisjonen i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS

CAS gir $t = 25$ og $\mathrm{dyp}(25) = -\frac{625}{2} = -312{,}5$ .

Miniubåten er dypest $\underline{\underline{312{,}5 \, \mathrm{m}}}$ under havoverflaten.

Vi definerer begge posisjonsvektorene, beregner differansevektoren $\vec{d}(t) = \vec{r}(t) - \vec{s}(t)$ og avstandsfunksjonen $A(t) = |\vec{d}(t)|$ . Så bruker vi Min(A, 0, 60) for å finne minimumsavstanden numerisk:

GeoGebra CAS

CAS gir minimumsavstand $\approx 39{,}83 \, \mathrm{m}$ ved $t \approx 8{,}39 \, \mathrm{s}$ .

For at miniubåten skal kollidere med fiskestimen, må avstanden mellom sentrene være mindre enn fiskestimens radius ( $15 \, \mathrm{m}$ ) pluss halvparten av miniubåtens største tverrsnitt ( $\approx 4 \, \mathrm{m}$ ), altså under $19 \, \mathrm{m}$ .

Siden minimumsavstanden $\approx 39{,}8 \, \mathrm{m} \gg 19 \, \mathrm{m}$ , vil miniubåten ikke kollidere med fiskestimen.

Sensorveiledning

Kandidater som finner fartsvektoren for $t=2$ kan få 1 poeng.

Kandidater som finner riktig tidspunkt, kan få 1 poeng.

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: vektorer, geometri, derivasjon
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet