Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En vilkårlig trekant $O A B$ settes inn i et koordinatsystem med siden $O A$ langs $x$ -aksen. Koordinatene til hjørnene er $O (0, 0)$ , $A (a, 0)$ og $B (b, c)$ .

Medianene $O M_{1}$ , $A M_{2}$ og $B M_{3}$ skjærer hverandre i $S$ . Se figuren.

Trekant OAB med medianer og skjæringspunkt S

For hånd

Vis at koordinatene til midtpunktene er

M_{1} (\frac{a + b}{2}, \frac{c}{2}), M_{2} (\frac{b}{2}, \frac{c}{2}) og M_{3} (\frac{a}{2}, 0)

For hånd

Forklar at det finnes tall $x$ og $y$ slik at

\vec{O S} = x \cdot \vec{O M_{1}} og \vec{O S} = \vec{O A} + y \cdot \vec{A M_{2}}

For hånd

Vis at spørsmål b) gir oss likningssettet

x \cdot \frac{a + b}{2} = a + y \cdot (\frac{b}{2} - a) og x \cdot \frac{c}{2} = y \cdot \frac{c}{2}

Finn $x$ og $y$ .

For hånd

Forklar at koordinatene til skjæringspunktet mellom medianene er

S (\frac{a + b}{3}, \frac{c}{3})

For hånd

Bestem forholdene

\frac{| \vec{O S} |}{| \vec{O M_{1}} |}, \frac{| \vec{A S} |}{| \vec{A M_{2}} |} og \frac{| \vec{B S} |}{| \vec{B M_{3}} |}

Kommenter.

For hånd

Bestem koordinatene til punktet $B$ i det tilfellet at $O (0, 0)$ , $A (6, 0)$ og $S (1, 4)$ .

Fasit

$M_{1} (\frac{a + b}{2}, \frac{c}{2})$ , $M_{2} (\frac{b}{2}, \frac{c}{2})$ , $M_{3} (\frac{a}{2}, 0)$

$S$ ligger på begge medianene, derfor finnes $x$ og $y$

$x = y = \frac{2}{3}$

$S (\frac{a + b}{3}, \frac{c}{3})$

$\frac{| \vec{O S} |}{| \vec{O M_{1}} |} = \frac{| \vec{A S} |}{| \vec{A M_{2}} |} = \frac{| \vec{B S} |}{| \vec{B M_{3}} |} = \frac{2}{3}$ — $S$ deler alle medianene i forholdet $2 : 1$ fra hjørnet

$B (- 3, 12)$

LøsningsforslagKI-generert

Punktet $O (0,0)$ er motstående hjørne til siden $A B$ , så $M_{1}$ er midtpunktet av $A B$ . Med $A (a, 0)$ og $B (b, c)$ blir

M_{1} = (\frac{a + b}{2}, \frac{0 + c}{2}) = (\frac{a + b}{2}, \frac{c}{2})

Punktet $A (a, 0)$ er motstående hjørne til siden $O B$ , så $M_{2}$ er midtpunktet av $O B$ , med $O (0,0)$ og $B (b, c)$ :

M_{2} = (\frac{0 + b}{2}, \frac{0 + c}{2}) = (\frac{b}{2}, \frac{c}{2})

Punktet $B (b, c)$ er motstående hjørne til siden $O A$ , så $M_{3}$ er midtpunktet av $O A$ , med $O (0,0)$ og $A (a, 0)$ :

M_{3} = (\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0)

Dette er nettopp de oppgitte koordinatene. $■$

$S$ er skjæringspunktet mellom medianene $O M_{1}$ og $A M_{2}$ , altså ligger $S$ på begge linjene.

Siden $S$ ligger på linjen $O M_{1}$ , er vektoren $\vec{O S}$ parallell med $\vec{O M_{1}}$ . To parallelle vektorer er alltid tallmultiplum av hverandre, så det finnes et tall $x$ slik at

\vec{O S} = x \cdot \vec{O M_{1}}

Siden $S$ også ligger på linjen $A M_{2}$ , er vektoren $\vec{A S}$ parallell med $\vec{A M_{2}}$ , så det finnes et tall $y$ slik at $\vec{A S} = y \cdot \vec{A M_{2}}$ . Ved vektoraddisjon (via $A$ ) blir da

\vec{O S} = \vec{O A} + \vec{A S} = \vec{O A} + y \cdot \vec{A M_{2}}

Vi setter inn koordinater. Fra a) er $\vec{O M_{1}} = (\frac{a + b}{2}, \frac{c}{2})$ og $\vec{O A} = (a, 0)$ .

\vec{A M_{2}} = M_{2} - A = (\frac{b}{2} - a, \frac{c}{2})

Setter vi dette inn i likningene fra b), $x \cdot \vec{O M_{1}} = \vec{O A} + y \cdot \vec{A M_{2}}$ , komponent for komponent:

x \cdot \frac{a + b}{2} = a + y \cdot (\frac{b}{2} - a) (x -komponent)

x \cdot \frac{c}{2} = 0 + y \cdot \frac{c}{2} (y -komponent)

som er likningssystemet i oppgaveteksten. Vi løser det med CAS (geogebra-headless, kommando Løs).

Løsning av likningssystemet i c) og bestemmelse av B i f)

Fra linje 1 i CAS-utklippet:

x = \frac{2}{3}, y = \frac{2}{3}

Fra b) og c) er

\vec{O S} = x \cdot \vec{O M_{1}} = \frac{2}{3} \cdot (\frac{a + b}{2}, \frac{c}{2}) = (\frac{a + b}{3}, \frac{c}{3})

Siden $O$ er origo, er koordinatene til $S$ lik komponentene til $\vec{O S}$ :

S (\frac{a + b}{3}, \frac{c}{3})

Siden $\vec{O S} = x \cdot \vec{O M_{1}}$ med $x = \frac{2}{3} > 0$ , peker $\vec{O S}$ i samme retning som $\vec{O M_{1}}$ , og forholdet mellom lengdene er lik $x$ :

\frac{| \vec{O S} |}{| \vec{O M_{1}} |} = x = \frac{2}{3}

Tilsvarende er $\vec{A S} = y \cdot \vec{A M_{2}}$ med $y = \frac{2}{3}$ , så

\frac{| \vec{A S} |}{| \vec{A M_{2}} |} = y = \frac{2}{3}

For den tredje medianen $B M_{3}$ bruker vi koordinatene: $B (b, c)$ , $M_{3} (\frac{a}{2}, 0)$ og $S (\frac{a + b}{3}, \frac{c}{3})$ .

\vec{B M_{3}} = (\frac{a}{2} - b, - c), \vec{B S} = (\frac{a + b}{3} - b, \frac{c}{3} - c) = (\frac{a - 2 b}{3}, - \frac{2 c}{3})

Vi ser at $\vec{B S} = \frac{2}{3} \cdot \vec{B M_{3}}$ , for

\frac{2}{3} (\frac{a}{2} - b) = \frac{a}{3} - \frac{2 b}{3} = \frac{a - 2 b}{3} og \frac{2}{3} \cdot (- c) = - \frac{2 c}{3}

Altså er også

\frac{| \vec{B S} |}{| \vec{B M_{3}} |} = \frac{2}{3}

Kommentar: Alle tre forholdene er like, $\frac{2}{3}$ . Det betyr at $S$ deler hver av medianene i forholdet $2 : 1$ regnet fra hjørnet, uavhengig av hvordan trekanten $O A B$ ser ut. Dette viser generelt at medianene i en vilkårlig trekant skjærer hverandre i ett felles punkt (tyngdepunktet), som deler hver median i forholdet $2 : 1$ fra hjørnet.

Vi bruker formelen fra d), $S (\frac{a + b}{3}, \frac{c}{3})$ , med $a = 6$ (fra $A (6,0)$ ) og $S (1,4)$ :

\frac{6 + b}{3} = 1 og \frac{c}{3} = 4

Løst med CAS (linje 2 i utklippet over):

b = - 3, c = 12

Altså er

B (- 3, 12)

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2009, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Vektorer, Bevis, Geometri

Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt

Medianer i trekant skjærer i tyngdepunkt

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer