Vi bruker produktregelen på $f(x)=2x\cdot \cos (3x)$ med kjerneregel på $\cos (3x)$.

Vi bruker kjerneregelen på $f(x)=3{(e^{4x}+1)}^2$, med indre funksjon $u=e^{4x}+1$.

Vi har $f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3-4x^2+x+2$.

1) Ligger grafen over eller under $x$-aksen ved $x=1$?

Siden $f(1)=-\frac{1}{3}<0$, ligger grafen $\underline{\underline{\text{under }x\text{-aksen}}}$ når $x=1$.

2) Stiger eller synker grafen ved $x=1$?

Vi deriverer og finner fortegnet til $f^{\prime }(1)$:

Siden $f^{\prime }(1)=-5<0$, $\underline{\underline{\text{synker}}}$ grafen ved $x=1$.

3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten ved $x=1$?

Den momentane veksthastigheten er $f^{\prime }(x)$. Om den øker eller minker, bestemmes av fortegnet til $f^{\prime \prime }(x)$:

Siden $f^{\prime \prime }(1)=-4<0$, $\underline{\underline{\text{minker}}}$ den momentane veksthastigheten ved $x=1$.

Rekken $9+\mathrm{0,9}+\mathrm{0,09}+\cdots$ er en uendelig geometrisk rekke med $a_1=9$ og kvotient $k=\mathrm{0,1}$.

Siden $|k|<1$, konvergerer rekken, og summen er

Vi skal finne ${\displaystyle \int \frac{4}{x^2-1}\mathrm{d}x}$. Siden $x^2-1=(x-1)(x+1)$, spalter vi i partialbrøker:

Multipliserer med fellesnevneren:

Setter $x=1$: $4=2A\Rightarrow A=2$

Setter $x=-1$: $4=-2B\Rightarrow B=-2$

Dermed er

Vi har $f(x)={\displaystyle \frac{24}{\sqrt{x}}}=24x^{-1/2}$.

1) Tangenten i $(4,f(4))$

Vi finner $f(4)$ og $f^{\prime }(4)$:

Tangentlikningen blir da

Dette er akkurat det vi skulle vise. $■$

2) Arealet mellom grafen, tangenten og linja $x=2$

Siden $f^{\prime \prime }(x)=18x^{-5/2}>0$ for $x>0$, er $f$ konveks, og grafen ligger over tangenten for alle $x\ne 4$. Arealet mellom grafen og tangenten fra $x=2$ til $x=4$ er derfor

Antiderivert:

Setter inn grensene:

Vi har $A(\mathrm{1,1,1})$, $B(\mathrm{3,3,2})$ og $C(\mathrm{2,1,2})$. Vinkelen $\angle BAC$ er vinkelen mellom vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$.

Skalarprodukt:

Lengder:

Vinkelen mellom vektorene finner vi med formelen

Differensiallikningen $y^{\prime }+(\cos x)\cdot y=0$ er separabel:

Integrerer begge sider:

Startbetingelsen $y(0)=4$ gir

Dermed er $C=4$, og løsningen blir

Rekken er gitt ved $a_1=2$ og $a_{n+1}=a_n+n+2$.

1) De 5 første leddene

2) Bevis ved induksjon at $a_n={\displaystyle \frac{n(n+3)}{2}}$

Basissteg ($n=1$): Formelen gir

som stemmer med oppgitt $a_1=2$. Basissteget er derfor oppfylt.

Induksjonssteg: Anta at formelen holder for et vilkårlig $n=k$, altså at

Vi skal vise at formelen da også holder for $n=k+1$, altså at $a_{k+1}={\displaystyle \frac{(k+1)(k+4)}{2}}$.

Fra rekursjonsformelen og induksjonsantakelsen:

Faktoriserer telleren:

Dermed er

som er nettopp formelen for $n=k+1$. Siden basissteget er oppfylt og induksjonssteget viser at formelen forplanter seg fra $n=k$ til $n=k+1$, er formelen bevist for alle $n\ge 1$ ved induksjon.