Lysbrytning i vann

Når en lysstråle går fra luft til vann, skifter den retning.

På figuren står linjen $m$ vinkelrett på vannoverflaten og lysstrålen går fra å danne en vinkel $u$ med $m$ til å danne en vinkel $v$ med $m$ .

Når lysstrålen går fra luft til vann, vil

\sin u = 1{,}33 \cdot \sin v

Lysstråle som brytes fra luft til vann med vinkler u og v

Hvor stor må vinkelen $u$ være for at vinkelen $v$ skal bli $39\degree$ ?

Hva vil skje med vinkelen $v$ dersom vinkelen $u$ nærmer seg $90\degree$ ?

Kan vinklene $u$ og $v$ bli like store?

Husk å begrunne svarene dine.

Fasit

$\underline{\underline{u \approx 56{,}82\degree}}$

Vinkelen $v$ nærmer seg $\underline{\underline{v \approx 48{,}75\degree}}$ (og kan aldri bli $90\degree$ ).

$\underline{\underline{u = v = 0\degree}}$ er den eneste muligheten.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse oppgaven. Likningen for lysbrytning er gitt:

\sin u = 1{,}33 \cdot \sin v

GeoGebra CAS-utregning for lysbrytning

Vi skal finne $u$ når $v = 39\degree$ . Setter inn i likningen:

\sin u = 1{,}33 \cdot \sin 39\degree

u = \arcsin(1{,}33 \cdot \sin 39\degree)

Se linje 1–2 i CAS-utklippet: $u \approx 56{,}82\degree$ .

Vinkelen $u$ må være $\underline{\underline{u \approx 56{,}82\degree}}$ .

Dersom $u \to 90\degree$ , vil $\sin u \to 1$ . Fra likningen får vi da:

\sin v \to \frac{1}{1{,}33} \approx 0{,}752

v \to \arcsin\!\left(\frac{1}{1{,}33}\right) \approx 48{,}75\degree

Se linje 3 i CAS-utklippet. Selv om $u$ nærmer seg $90\degree$ , vil $v$ aldri nå $90\degree$ — den nærmer seg $48{,}75\degree$ som en grenseverdi. Dette er den kritiske vinkelen for totalrefleksjon.

Vinkelen $v$ nærmer seg $\underline{\underline{v \approx 48{,}75\degree}}$ og kan aldri bli $90\degree$ .

Vi antar $u = v$ og setter inn i likningen:

\sin u = 1{,}33 \cdot \sin u

0 = 1{,}33 \cdot \sin u - \sin u = 0{,}33 \cdot \sin u

\sin u = 0 \implies u = 0\degree

Se linje 4 i CAS-utklippet (løsningen $u = \pi \cdot k_1$ tilsvarer $u = 0\degree$ for ikke-negative vinkler). Da er også $v = 0\degree$ .

Vinklene kan altså bare være like store når lysstrålen går rett gjennom langs linjen $m$ .

$\underline{\underline{u = v = 0\degree}}$ er den eneste muligheten.

Oppgavedata

Poeng: 3
Temaer: trigonometri, likninger
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine