Luftforurensning og sinusfunksjon

I et veikryss varierer en type luftforurensning periodisk hvert døgn. Luftforurensningen øker ut over formiddagen og minker igjen mot kvelden. Mengden luftforurensning $M$ kan beskrives med funksjonen

M(t) = A \cdot \sin(ct + k) + d

der $t$ er antall timer etter midnatt.

Den største mengden luftforurensning i løpet av døgnet er $31{,}2 \text{ μg/m}^3$ , og den minste mengden er $18{,}2 \text{ μg/m}^3$ .

Bestem $A$ , $c$ og $d$ .

Ved to tidspunkter i løpet av døgnet er mengden luftforurensning $27 \text{ μg/m}^3$ . Den første gangen er klokken 13:00.

Når er det andre tidspunktet?

Fasit

$\underline{\underline{A = 6{,}5}}, \quad \underline{\underline{c = \dfrac{\pi}{12}}}, \quad \underline{\underline{d = 24{,}7}}$

Det andre tidspunktet er klokken $\underline{\underline{22:14}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $M(t) = A \cdot \sin(ct + k) + d$ har amplitude $A$ og midtlinje $d$ . Siden maksimum er $31{,}2$ og minimum er $18{,}2$ , får vi

A = \frac{31{,}2 - 18{,}2}{2} = \frac{13}{2} = \textcolor{seagreen}{6{,}5}

d = \frac{31{,}2 + 18{,}2}{2} = \frac{49{,}4}{2} = \textcolor{steelblue}{24{,}7}

Perioden er $24$ timer (ett døgn), og sammenhengen mellom periode $P$ og $c$ er $P = \dfrac{2\pi}{c}$ :

c = \frac{2\pi}{24} = \textcolor{tomato}{\frac{\pi}{12}}

Svar: $\underline{\underline{A = 6{,}5}}$ , $\underline{\underline{c = \dfrac{\pi}{12}}}$ , $\underline{\underline{d = 24{,}7}}$

Vi skal finne begge tidspunktene der $M(t) = 27$ . Vi bruker GeoGebra CAS.

Vi definerer $M(t)$ med de kjente verdiene $A = 6{,}5$ , $c = \frac{\pi}{12}$ , $d = 24{,}7$ , og løser først for $k$ ved å bruke at $M(13) = 27$ . Deretter setter vi inn $k$ og løser $M(t) = 27$ for $t$ .

GeoGebra CAS – løsning for k og andre tidspunkt

CAS gir to løsningsgrener for $k$ (én for stigende, én for synkende fase ved $t = 13$ ). Oppgaven sier at luftforurensningen øker ut over formiddagen og minker mot kvelden, så $t = 13$ må ligge på den stigende grenen. Vi velger derfor

k = \sin^{-1}\!\left(\frac{23}{65}\right) - \frac{13\pi}{12} \approx -3{,}04

Med $k$ bestemt gir CAS de generelle løsningene

t = 24k_1 + 13 \qquad \text{og} \qquad t = \frac{24k_1\pi + 25\pi - 24\sin^{-1}\!\!\left(\tfrac{23}{65}\right)}{\pi}

I løpet av ett døgn ( $0 \le t < 24$ ) bruker vi $k_1 = 0$ :

$t = 13$ (klokken 13:00 — oppgitt)
$t = \dfrac{25\pi - 24\sin^{-1}\!\!\left(\tfrac{23}{65}\right)}{\pi} \approx 22{,}24 \approx 22:14$

Svar: Det andre tidspunktet er klokken $\underline{\underline{22:14}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

Det gis 1 poeng for rett verdi for $c$ og 1 poeng for rette verdier for $A$ og $d$ .

2 poeng

Riktig strategi kan gi 1 poeng. Dersom kandidaten i tillegg klarer å gjennomføre strategien (med en rett verdi for $k$ ) gis det i tillegg 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: trigonometri, modellering, funksjoner
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett