Lotteri med forventning og normaltilnærming

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et lotteri gjelder følgende:

Hvert lodd koster $10$ kroner.
Halvparten av loddene gir en gevinst på $10$ kroner.
$10 %$ av loddene gir en gevinst på $50$ kroner.
Resten av loddene gir ingen gevinst.

Den stokastiske variabelen $X$ er nettogevinsten (gevinst minus loddpris) på et tilfeldig lodd.

Vis at $E (X) = 0$ og $Var (X) = 200$ .

La $S$ være den stokastiske variabelen $S = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{50}$ som gir nettogevinsten ved kjøp av $50$ lodd.

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Vis at $E (S) = 0$ og $SD (S) = 100$ .

Anja ønsker å kjøpe seg en jakke til $650$ kroner, men har bare $500$ kroner. Hun vurderer derfor å kjøpe lodd for alle pengene.

Bestem sannsynligheten for at Anja får nok penger til å kjøpe jakken dersom hun satser alle pengene i lotteriet. Du kan få bruk for standard normalfordelingstabellen i vedlegg 1.

Fasit

$E (X) = 0$ og $Var (X) = 200$

Sentralgrenseteoremet: sum av mange uavhengige, identisk fordelte variabler er tilnærmet normalfordelt.

$E (S) = 0$ og $SD (S) = 100$

$P (S \geq 150) \approx 6,7 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp sannsynlighetsfordelingen for $X$ (nettogevinst = gevinst $-$ loddpris):

$x$	$- 10$	$0$	$40$
$P (X = x)$	$0,4$	$0,5$	$0,1$

Forklaringen: 40 % av loddene gir ingen gevinst ( $0 - 10 = - 10$ ), 50 % gir tilbake det de betalte ( $10 - 10 = 0$ ), og 10 % gir en gevinst på 50 kr ( $50 - 10 = 40$ ).

Vi regner ut $E (X)$ :

E (X) = (- 10) \cdot 0,4 + 0 \cdot 0,5 + 40 \cdot 0,1 = - 4 + 0 + 4 = 0

Vi regner ut $E (X^{2})$ :

E (X^{2}) = {(- 10)}^{2} \cdot 0,4 + 0^{2} \cdot 0,5 + 40^{2} \cdot 0,1 = 100 \cdot 0,4 + 0 + 1600 \cdot 0,1 = 40 + 160 = 200

Dermed er

Var (X) = E (X^{2}) - {[E (X)]}^{2} = 200 - 0^{2} = 200

$S = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{50}$ er summen av 50 uavhengige og identisk fordelte stokastiske variabler (alle $X_{i}$ har samme fordeling som $X$ ).

Ifølge sentralgrenseteoremet vil summen av tilstrekkelig mange uavhengige, identisk fordelte stokastiske variabler være tilnærmet normalfordelt, uavhengig av den opprinnelige fordelingen til $X$ . Med $n = 50$ er dette tilstrekkelig mange, og vi kan dermed si at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Vi bruker regnereglene for forventning og varians for summer av uavhengige stokastiske variabler:

E (S) = E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{50}) = 50 \cdot E (X) = 50 \cdot 0 = 0

Var (S) = Var (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{50}) = 50 \cdot Var (X) = 50 \cdot 200 = 10 000

SD (S) = \sqrt{Var (S)} = \sqrt{10 000} = 100

Anja har $500 kr$ og bruker dem alle på lodd (50 lodd à 10 kr). Hun trenger $650 kr$ til jakken, så hun trenger en nettogevinst på minst

650 - 500 = 150 kr

Vi skal altså finne $P (S \geq 150)$ .

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $μ = 0$ og $σ = 100$ . Vi standardiserer:

z = \frac{150 - 0}{100} = 1,5

Fra normalfordelingstabellen leser vi av $Φ (1,5) = 0,9332$ , det vil si $P (Z \leq 1,5) = 0,9332$ .

P (S \geq 150) = 1 - Φ (1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668 \approx 6,7 %

Sannsynligheten for at Anja får nok penger til å kjøpe jakken, er omtrent $6,7 %$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2017, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Forventningsverdi, Varians og standardavvik, Normalfordeling

Lotteri med forventning og normaltilnærming

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Lotteri med forventning og normaltilnærming

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Lotteri med forventning og normaltilnærming

Lotteri med forventning og normaltilnærming

Lov på eksamen

Temaer