Lotteri med forventning og normaltilnærming

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et lotteri gjelder følgende:

Hvert lodd koster $10$ kroner.
Halvparten av loddene gir en gevinst på $10$ kroner.
$10\ \%$ av loddene gir en gevinst på $50$ kroner.
Resten av loddene gir ingen gevinst.

Den stokastiske variabelen $X$ er nettogevinsten (gevinst minus loddpris) på et tilfeldig lodd.

Vis at $E(X)=0$ og $\text{Var}(X)=200$ .

La $S$ være den stokastiske variabelen $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{50}$ som gir nettogevinsten ved kjøp av $50$ lodd.

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Vis at $E(S)=0$ og $\text{SD}(S)=100$ .

Anja ønsker å kjøpe seg en jakke til $650$ kroner, men har bare $500$ kroner. Hun vurderer derfor å kjøpe lodd for alle pengene.

Bestem sannsynligheten for at Anja får nok penger til å kjøpe jakken dersom hun satser alle pengene i lotteriet. Du kan få bruk for standard normalfordelingstabellen i vedlegg 1.

Fasit

$\underline{\underline{\text{E}(X) = 0}}$ og $\underline{\underline{\text{Var}(X) = 200}}$

Sentralgrenseteoremet: sum av mange uavhengige, identisk fordelte variabler er tilnærmet normalfordelt.

$\underline{\underline{\text{E}(S) = 0}}$ og $\underline{\underline{\text{SD}(S) = 100}}$

$\underline{\underline{P(S \geq 150) \approx 6{,}7\,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp sannsynlighetsfordelingen for $X$ (nettogevinst = gevinst $-$ loddpris):

$x$	$-10$	$0$	$40$
$P(X = x)$	$0{,}4$	$0{,}5$	$0{,}1$

Forklaringen: 40 % av loddene gir ingen gevinst ( $0 - 10 = -10$ ), 50 % gir tilbake det de betalte ( $10 - 10 = 0$ ), og 10 % gir en gevinst på 50 kr ( $50 - 10 = 40$ ).

Vi regner ut $\text{E}(X)$ :

\text{E}(X) = (-10) \cdot 0{,}4 + 0 \cdot 0{,}5 + 40 \cdot 0{,}1 = -4 + 0 + 4 = \underline{\underline{0}}

Vi regner ut $\text{E}(X^2)$ :

\text{E}(X^2) = (-10)^2 \cdot 0{,}4 + 0^2 \cdot 0{,}5 + 40^2 \cdot 0{,}1 = 100 \cdot 0{,}4 + 0 + 1600 \cdot 0{,}1 = 40 + 160 = 200

Dermed er

\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2 = 200 - 0^2 = \underline{\underline{200}}

$S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{50}$ er summen av 50 uavhengige og identisk fordelte stokastiske variabler (alle $X_i$ har samme fordeling som $X$ ).

Ifølge sentralgrenseteoremet vil summen av tilstrekkelig mange uavhengige, identisk fordelte stokastiske variabler være tilnærmet normalfordelt, uavhengig av den opprinnelige fordelingen til $X$ . Med $n = 50$ er dette tilstrekkelig mange, og vi kan dermed si at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Vi bruker regnereglene for forventning og varians for summer av uavhengige stokastiske variabler:

\text{E}(S) = \text{E}(X_1 + X_2 + \cdots + X_{50}) = 50 \cdot \text{E}(X) = 50 \cdot 0 = \underline{\underline{0}}

\text{Var}(S) = \text{Var}(X_1 + X_2 + \cdots + X_{50}) = 50 \cdot \text{Var}(X) = 50 \cdot 200 = 10\,000

\text{SD}(S) = \sqrt{\text{Var}(S)} = \sqrt{10\,000} = \underline{\underline{100}}

Anja har $500 \, \mathrm{kr}$ og bruker dem alle på lodd (50 lodd à 10 kr). Hun trenger $650 \, \mathrm{kr}$ til jakken, så hun trenger en nettogevinst på minst

650 - 500 = 150 \, \mathrm{kr}

Vi skal altså finne $P(S \geq 150)$ .

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 0$ og $\sigma = 100$ . Vi standardiserer:

z = \frac{150 - 0}{100} = 1{,}5

Fra normalfordelingstabellen leser vi av $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$ , det vil si $P(Z \leq 1{,}5) = 0{,}9332$ .

P(S \geq 150) = 1 - \Phi(1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = \underline{\underline{0{,}0668 \approx 6{,}7\,\%}}

Sannsynligheten for at Anja får nok penger til å kjøpe jakken, er omtrent $6{,}7\,\%$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Forventningsverdi, Varians, Normalfordeling

Lotteri med forventning og normaltilnærming

Sync på tvers av enheter

Lotteri med forventning og normaltilnærming

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave