Vi skal vise at $y=C\sqrt{1-x^2}$ er en løsning når $x\in ⟨-1,1⟩$.

Vi deriverer $y$ med produkt-/kjerneregelen:

Så setter vi $y$ inn på høyre side av differensiallikningen:

Dette er nøyaktig det samme uttrykket som $y^{\prime }$, altså er likningen oppfylt for alle $x\in ⟨-1,1⟩$ og alle $C$. CAS bekrefter dette i utklippet under (linje 1–3): $f^{\prime }(x)$ og ${\displaystyle \frac{x}{x^2-1}}\cdot f(x)$ forenkler til samme uttrykk.

og 3) Grafene til $y=C\sqrt{1-x^2}$ er øvre/nedre halvdeler av ellipser med toppunkt $(0,C)$ og nullpunkter i $x=\pm 1$. For $C=1$ (blå) får vi den øvre halvsirkelen med radius $1$, og for $C=-1$ (rød) den nedre halvsirkelen. Andre verdier, for eksempel $C=2$ (oransje) og $C=-\mathrm{0,5}$ (grønn), gir tilsvarende halv-ellipser som er «flatere» eller «høyere» — men alle har samme nullpunkter $x=\pm 1$ siden faktoren $\sqrt{1-x^2}$ er felles for alle løsningene.

Vi skal vise at $y=C\sqrt{x^2-1}$ er en løsning når $x\in ⟨\leftarrow ,-1⟩\cup ⟨1,\to ⟩$.

Vi deriverer:

Vi setter $y$ inn på høyre side:

Dette stemmer overens med $y^{\prime }$, så $y=C\sqrt{x^2-1}$ er en løsning på de aktuelle intervallene (bekreftet med CAS på linje 4–6 i utklippet over).

Grafene består av to grener, symmetriske om $y$-aksen, som starter i $(\pm 1,0)$ og går mot $\pm \infty$. For $C>0$ (blå, $C=1$, og oransje, $C=\mathrm{0,5}$) stiger grenene, mens for $C<0$ (rød, $C=-1$) synker de. Jo større $|C|$, jo brattere grener.

Vi skal løse

Dette er en separabel differensiallikning:

Vi delbrøkoppspalter ${\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{1}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ og integrerer begge sider:

Initialbetingelsen $x\in ⟨-1,1⟩$ (siden $y(0)=C$ krever $x=0$ i definisjonsmengden). Vi setter inn $x=0$:

Dermed blir løsningen

CAS bekrefter dette på linje 7–10 i utklippet: $h^{\prime }(x)$ og ${\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}\cdot h(x)$ forenkler til samme uttrykk $-{\displaystyle \frac{2C}{{(x+1)}^2}}$, og $h(0)=C$ som krevd.

Grafene til $y=C\cdot {\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}$ på $⟨-1,1⟩$ starter (i grensen $x\to -1^{+}$) mot $\pm \infty$ og avtar mot $0$ ved $x=1$. For $C=1$ (blå) og $C=2$ (oransje) er kurvene positive og synkende, mens for $C=-1$ (rød) er kurven negativ og voksende (speilbildet om $x$-aksen). Alle grafene passerer $(0,C)$, i tråd med initialbetingelsen.