Vi skal løse $f(x) < 0$ der $f(x) = x^3 + 7x^2 + 4x - 12$.

Første steg er å finne nullpunktene til $f$.

Gjett et heltallsnullpunkt. Nullpunktene må være delere av konstantleddet $-12$, altså blant $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$. Vi prøver $x = 1$:

$$f(1) = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 \checkmark$$

Så $(x - 1)$ er en faktor.

Polynomdivisjon:

$$\frac{x^3 + 7x^2 + 4x - 12}{x - 1} = x^2 + 8x + 12$$

Vi kontrollerer: $(x-1)(x^2 + 8x + 12) = x^3 + 8x^2 + 12x - x^2 - 8x - 12 = x^3 + 7x^2 + 4x - 12$ ✓

Faktoriser andregradsuttrykket $x^2 + 8x + 12$:

$$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-8 \pm 4}{2}$$

Dette gir $x = -2$ og $x = -6$.

Dermed kan vi skrive:

$$f(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 6)$$

Nullpunktene er $x = -6$, $x = -2$ og $x = 1$.

Fortegnsanalyse. Siden ledende koeffisient er positiv ($+1$ foran $x^3$), er $f(x) \to -\infty$ for $x \to -\infty$ og $f(x) \to +\infty$ for $x \to +\infty$. Fortegnet skifter ved hvert nullpunkt:

Intervall	$f(x)$
$x < -6$	$-$
$-6 < x < -2$	$+$
$-2 < x < 1$	$-$
$x > 1$	$+$

Grafisk illustrasjon:

Kurven starter nedenfra (negativ), krysser $x$-aksen i $x = -6$, går opp (positiv), krysser i $x = -2$, går ned (negativ), og krysser til slutt i $x = 1$ og fortsetter oppover. De røde skyggede områdene viser der $f(x) < 0$.

Løsningen er der $f(x) < 0$:

$$\underline{\underline{x \in \langle -\infty,\, -6 \rangle \cup \langle -2,\, 1 \rangle}}$$