Logistisk vekst med vendepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til en logistisk funksjon $f (x) = \frac{a}{1 + b \cdot e^{- k x}}$ er skissert nedenfor.

Logistisk kurve med punkt P og V

For hånd

Grafen skjærer $y$ -aksen i punktet $P$ . Bestem $y$ -koordinaten til $P$ uttrykt ved $a$ og $b$ .

For hånd

Bruk CAS og derivasjon til å vise at vendepunktet $V$ har $y$ -koordinat lik $\frac{a}{2}$ .

For hånd

Bruk CAS til å vise at tangenten i $V$ har stigningstall lik $\frac{a \cdot k}{4}$ .

Fasit

$\frac{a}{1 + b}$

$y$ -koordinaten til vendepunktet er $\frac{a}{2}$

Stigningstallet er $\frac{a \cdot k}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen skjærer $y$ -aksen der $x = 0$ :

f (0) = \frac{a}{1 + b \cdot e^{- k \cdot 0}} = \frac{a}{1 + b \cdot 1} = \frac{a}{1 + b}

$y$ -koordinaten til $P$ er $\frac{a}{1 + b}$ .

Vi definerer $f (x) = \frac{a}{1 + b \cdot e^{- k x}}$ i CAS og finner $f^{''} (x)$ .

CAS-input:

f(x) := a / (1 + b * exp(-k*x))
Derivative(f, x, 2)
Solve(f''(x) = 0, x)

CAS gir at $f^{''} (x) = 0$ når

e^{- k x} = \frac{1}{b} ⟹ - k x = \ln (\frac{1}{b}) = - \ln b ⟹ x = \frac{\ln b}{k}

Vi setter inn $x_{V} = \frac{\ln b}{k}$ i $f (x)$ :

f (\frac{\ln b}{k}) = \frac{a}{1 + b \cdot e^{- k \cdot \frac{\ln b}{k}}} = \frac{a}{1 + b \cdot e^{- \ln b}} = \frac{a}{1 + b \cdot \frac{1}{b}} = \frac{a}{1 + 1} = \frac{a}{2}

Vendepunktet $V$ har $y$ -koordinat $\frac{a}{2}$ .

Vi beregner $f^{'} (x)$ i CAS og setter inn $x_{V} = \frac{\ln b}{k}$ .

Den deriverte er

f^{'} (x) = \frac{a b k \cdot e^{- k x}}{{(1 + b \cdot e^{- k x})}^{2}}

Ved $x = x_{V}$ er $e^{- k x_{V}} = \frac{1}{b}$ , så $b \cdot e^{- k x_{V}} = 1$ . Vi setter inn:

f^{'} (\frac{\ln b}{k}) = \frac{a b k \cdot \frac{1}{b}}{{(1 + 1)}^{2}} = \frac{a k}{4}

Tangenten i vendepunktet $V$ har stigningstall $\frac{a \cdot k}{4}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Dersom CAS ikke er brukt, gis maksimalt 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2015, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Logistisk vekst, Derivasjon, CAS

Logistisk vekst med vendepunkt

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Logistisk vekst med vendepunkt

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Logistisk vekst med vendepunkt

Logistisk vekst med vendepunkt

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer