Logistisk plantesalg

Et hagesenter ønsker å satse på salg av en ny type planter. De startet salget av plantene i uke 17. Utover våren økte salget. I tabellen nedenfor ser du inntekten fra salget av plantene de første ukene.

Uke	17	18	19	20	21	22	23	24
Inntekt (kr/uke)	2900	4400	12 200	23 400	28 800	34600	41 000	40 800

Krever PC

Bruk informasjonen i tabellen til å lage en modell I på formen

I (t) = \frac{B}{1 + a \cdot e^{- k t}}

for inntekten $I (t)$ kroner per uke, $t$ uker etter uke 17. Vurder modellens gyldighetsområde.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Når økte inntekten mest, ifølge modellen? Hvor mye økte inntekten med på dette tidspunktet?

Oppsett for hånd

Løs likningen

\int_{0}^{x} I (t) d t = 65000

Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

$I (t) = \frac{42 000}{1 + 14,76 e^{- 0,9035 t}}$

Gyldig fra uke 17 til 24.

Uke 20. 9486 kr per uke.

Uke 21.

Løsningsforslag

Regresjon i GeoGebra til oppgave 1 del 2

Jeg brukte regresjon i GeoGebra for å finne en logistisk modell som passer til uttrykket i oppgaveteksten. Den modellen som passer best er

I (t) = \frac{42 000}{1 + 14,76 e^{- 0,9035 t}}

Salget starter i uke 17, så modellen er ikke gyldig før dette. I uke 24 så ser vi at salget minker noe fra uke 23, og det er naturlig med tanke på at uke 24 er starten av sommerferien. Sannsynligvis selger man ikke like mye planter på sommeren som man gjør i vekstperioden på våren.

Jeg vurderer modellens gyldighetsområde til å kun være fra uke 17 til og med uke 24, altså $t \in [0,7]$ .

CAS løsning av oppgave 1 del 2

Inntekten øker mest ved vendepunktet $t = 3$ (etter 20 uker), se linje 2 i utklippet. Den deriverte til $I (t)$ gir oss vekstfarten etter 20 uker i linje 3.

Inntektene vokser raskest i uke 20. De vokser da med omtrent 9486 kr per uke.

Se linje 4 i GeoGebra-utklippet. $x = 4,3$ tilsvarer underveis i uke 21.

De samlede salgsinntektene for planten passerte 65 000 kr i uke 21.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

1 poeng for å finne modellen og 1 poeng for å vurdere gyldighetsområde.

1 poeng for å finne tidspunktet og 1 poeng for å vinne verdien.

1 poeng for å løse likningen og 1 poeng for tolkning av svaret.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2025, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Logistisk funksjon, Tolkning av integraler, Derivasjon, Modellering
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Logistisk plantesalg

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Logistisk plantesalg

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Logistisk plantesalg

Logistisk plantesalg

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer