Logistisk modell for smittsom sykdom

I et område er det brutt ut en smittsom sykdom. Antall personer som blir smittet per uke, kan modelleres med en logistisk funksjon $g$ der

g (t) = \frac{N}{1 + a e^{- k t}}

Her er $N$ , $a$ og $k$ reelle tall, og $g (t)$ er antall personer som blir smittet per uke, $t$ uker etter at sykdommen brøt ut.

Tabellen nedenfor viser $g (t)$ for noen verdier av $t$ .

$t$	0	5	12
$g (t)$	200	2000	9 000

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme $N$ , $a$ og $k$ i uttrykket $g (t)$ .

Nærmere undersøkelser viser at

f (t) = \frac{10000}{1 + 50 e^{- 0,5 t}}

er en god modell for antallet som blir smittet per uke, $t$ uker etter at sykdommen brøt ut.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ . Bruk grafen til å bestemme når antall smittede personer per uke er 7000.

Oppsett for hånd

Bruk CAS til å bestemme $\int_{0}^{12} f (t) d t$ . Hva forteller dette svaret oss?

Oppsett for hånd

Hvor mange uker vil det gå før det totale antallet personer som er smittet, overstiger 15 000?

Fasit

$N \approx 10 095$ , $a \approx 49,5$ , $k \approx 0,50$

Antall smittede per uke er 7000 etter $t \approx 9,5 uker$

$\int_{0}^{12} f (t) d t \approx 43 700$ — totalt antall smittede fra uke 0 til uke 12

$T \approx 8,1 uker$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger de tre datapunktene $(0, 200)$ , $(5, 2000)$ og $(12, 9000)$ inn i regnearket i GeoGebra, markerer dem og velger Regresjonsanalyse → Logistisk regresjon.

GeoGebra gir:

g (t) = \frac{N}{1 + a e^{- k t}} \approx \frac{10 095}{1 + 49,5 \cdot e^{- 0,50 t}}

$N \approx 10 095$ , $a \approx 49,5$ , $k \approx 0,50$

(Oppgaveteksten opplyser at $f (t) = \frac{10 000}{1 + 50 e^{- 0,5 t}}$ er en god tilnærming, noe som stemmer godt med regresjonsresultatet.)

Vi skriver inn funksjonen i GeoGebra:

f(t) = 10000 / (1 + 50 * exp(-0.5 * t))

Deretter tegner vi linjen $y = 7000$ og finner skjæringspunktet med $f$ .

GeoGebra gir skjæringspunktet $(9,52, 7000)$ .

Antall smittede per uke er 7000 etter $t \approx 9,5 uker$ .

I CAS skriver vi:

f(t) := 10000 / (1 + 50 * e^(-0.5 * t))
Integral(f, t, 0, 12)

CAS gir:

\int_{0}^{12} f (t) d t \approx 43 700

Tolkning: Siden $f (t)$ angir antall nye smittede per uke og vi integrerer over $t \in [0, 12]$ uker, gir integralet det totale antallet personer som ble smittet fra uke 0 til uke 12. Det vil si at omtrent 43 700 personer ble smittet i løpet av de første 12 ukene.

Vi skal finne $T$ slik at totalt antall smittede overstiger 15 000, altså løse:

\int_{0}^{T} f (t) d t = 15 000

I CAS (numerisk) skriver vi:

NLøs({Integral(f, 0, T) = 15000}, {T})

CAS gir $T \approx 8,12$ .

Det vil gå $drøyt 8 uker$ før totalt 15 000 personer er smittet.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2017, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Logistisk vekst, Regresjon, Bestemt integral, Modellering

Logistisk modell for smittsom sykdom

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Logistisk modell for smittsom sykdom

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Logistisk modell for smittsom sykdom

Logistisk modell for smittsom sykdom

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer