Logistisk modell for raketthastighet R1 V26

Tabellen nedenfor viser farten til en rakett noen sekunder etter at raketten har forlatt utskytingsrampen.

Tid (sekunder)	$1$	$5$	$10$	$20$	$50$	$100$	$150$
Fart (meter per sekund)	$7{,}3$	$9{,}2$	$10{,}7$	$25{,}6$	$61{,}3$	$183{,}0$	$218{,}2$

Lag en modell $V$ på formen

V(t) = \frac{C}{1+a\cdot e^{-kt}}

for farten $V(t)$ meter per sekund, $t$ sekunder etter at raketten har forlatt utskytingsrampen.

Hvor lang tid tar det før raketten oppnår en fart på $100\mathrm{~m/s}$ ?

Når er fartsøkningen til raketten størst? Hvor stor er denne fartsøkningen?

Hvor lenge øker farten til raketten med mer enn $2\mathrm{~m/s^2}$ ?

Fasit

$V(t) = \dfrac{223{,}48}{1 + 27{,}33 \cdot e^{-0{,}0478t}}$

$t \approx \mathbf{64{,}8} \mathrm{~s}$

Størst fartsøkning ved $t \approx 69{,}2 \mathrm{~s}$ , der $V'(t) \approx \mathbf{2{,}67} \mathrm{~m/s^2}$

Farten øker med mer enn $2 \mathrm{~m/s^2}$ i ca. $\mathbf{46{,}1} \mathrm{~s}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logistisk regresjon på de gitte datapunktene. Regresjon med scipy gir parameterne

C \approx 223{,}48, \quad a \approx 27{,}33, \quad k \approx 0{,}0478

Vi definerer modellen i GeoGebra CAS (linje 1):

V(t) = \frac{223{,}48}{1 + 27{,}33 \cdot e^{-0{,}0478 \cdot t}}

Se figuren nedenfor for CAS-sesjonen brukt i b)–d).

$V(t) = \dfrac{223{,}48}{1 + 27{,}33 \cdot e^{-0{,}0478 \cdot t}}$

Vi løser $V(t) = 100$ numerisk i GeoGebra CAS (linje 2):

\frac{223{,}48}{1 + 27{,}33 \cdot e^{-0{,}0478 \cdot t}} = 100

Se linje 2 i CAS-figuren: $t \approx 64{,}79$ .

Raketten oppnår $100 \mathrm{~m/s}$ etter ca. $\underline{\underline{64{,}8 \mathrm{~s}}}$ .

Fartsøkningen er $V'(t)$ . Vi deriverer $V(t)$ i GeoGebra CAS (linje 3) og setter $V''(t) = 0$ for å finne maksimum (linje 4):

V''(t) = 0 \implies t \approx 69{,}2 \mathrm{~s}

Se linje 4 i CAS-figuren. Vi beregner så $V'(69{,}2) \approx 2{,}67$ .

Fartsøkningen er størst ved $t \approx \underline{\underline{69{,}2 \mathrm{~s}}}$ , der $V'(t) \approx \underline{\underline{2{,}67 \mathrm{~m/s^2}}}$ .

Vi løser $V'(t) = 2$ i GeoGebra CAS (linje 5):

V'(t) = 2 \implies t \approx 46{,}16 \quad \text{og} \quad t \approx 92{,}25

Se linje 5 i CAS-figuren. Siden $V'(t) > 2$ mellom de to løsningene, er varigheten

92{,}25 - 46{,}16 \approx 46{,}09 \mathrm{~s}

Farten øker med mer enn $2 \mathrm{~m/s^2}$ i ca. $\underline{\underline{46{,}1 \mathrm{~s}}}$ (fra $t \approx 46{,}2 \mathrm{~s}$ til $t \approx 92{,}2 \mathrm{~s}$ ).

GeoGebra CAS – logistisk modell for raketthastighet

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: modellering, logistisk funksjon, derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett