Logistisk modell for raketthastighet R1 V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser farten til en rakett noen sekunder etter at raketten har forlatt utskytingsrampen.

Tid (sekunder)	$1$	$5$	$10$	$20$	$50$	$100$	$150$
Fart (meter per sekund)	$7,3$	$9,2$	$10,7$	$25,6$	$61,3$	$183,0$	$218,2$

Krever PC

Lag en modell $V$ på formen

V (t) = \frac{C}{1 + a \cdot e^{- k t}}

for farten $V (t)$ meter per sekund, $t$ sekunder etter at raketten har forlatt utskytingsrampen.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor lang tid tar det før raketten oppnår en fart på $100 m / s$ ?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Når er fartsøkningen til raketten størst? Hvor stor er denne fartsøkningen?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor lenge øker farten til raketten med mer enn $2 m / s^{2}$ ?

Fasit

$V (t) = \frac{223,48}{1 + 27,33 \cdot e^{- 0,0478 t}}$

$t \approx 𝟔𝟒,𝟖 s$

Størst fartsøkning ved $t \approx 69,2 s$ , der $V^{'} (t) \approx 𝟐,𝟔𝟕 m / s^{2}$

Farten øker med mer enn $2 m / s^{2}$ i ca. $𝟒𝟔,𝟏 s$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logistisk regresjon på de gitte datapunktene. Regresjon med scipy gir parameterne

C \approx 223,48, a \approx 27,33, k \approx 0,0478

Vi definerer modellen i GeoGebra CAS (linje 1):

V (t) = \frac{223,48}{1 + 27,33 \cdot e^{- 0,0478 \cdot t}}

Se figuren nedenfor for CAS-sesjonen brukt i b)–d).

$V (t) = \frac{223,48}{1 + 27,33 \cdot e^{- 0,0478 \cdot t}}$

Vi løser $V (t) = 100$ numerisk i GeoGebra CAS (linje 2):

\frac{223,48}{1 + 27,33 \cdot e^{- 0,0478 \cdot t}} = 100

Se linje 2 i CAS-figuren: $t \approx 64,79$ .

Raketten oppnår $100 m / s$ etter ca. $64,8 s$ .

Fartsøkningen er $V^{'} (t)$ . Vi deriverer $V (t)$ i GeoGebra CAS (linje 3) og setter $V^{''} (t) = 0$ for å finne maksimum (linje 4):

V^{''} (t) = 0 ⟹ t \approx 69,2 s

Se linje 4 i CAS-figuren. Vi beregner så $V^{'} (69,2) \approx 2,67$ .

Fartsøkningen er størst ved $t \approx 69,2 s$ , der $V^{'} (t) \approx 2,67 m / s^{2}$ .

Vi løser $V^{'} (t) = 2$ i GeoGebra CAS (linje 5):

V^{'} (t) = 2 ⟹ t \approx 46,16 og t \approx 92,25

Se linje 5 i CAS-figuren. Siden $V^{'} (t) > 2$ mellom de to løsningene, er varigheten

92,25 - 46,16 \approx 46,09 s

Farten øker med mer enn $2 m / s^{2}$ i ca. $46,1 s$ (fra $t \approx 46,2 s$ til $t \approx 92,2 s$ ).

GeoGebra CAS – logistisk modell for raketthastighet

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Kandidaten må finne en logistisk modell for å få uttelling.

Både grafisk og algebraisk løsning gir uttelling.

1 poeng for å finne tidspunkt og 1 poeng for å finne fartsøkningen.

Både lengden på intervallet og selve intervallet gir full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2026, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Modellering, Logistisk funksjon, Derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett

Logistisk modell for raketthastighet R1 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Logistisk modell for raketthastighet R1 V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Logistisk modell for raketthastighet R1 V26

Logistisk modell for raketthastighet R1 V26

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer