Logistisk modell for oljefondet

Tabellen nedenfor viser markedsverdien til Statens pensjonsfond utland, «Oljefondet», for noen år.

År	2000	2004	2008	2012	2016	2020	2021
Markedsverdi (milliarder kroner)	386	1016	2275	3816	7510	10914	12340

Lag en logistisk funksjon $g$ som gir oss en god modell for markedsverdien $x$ år etter 2000.

Vil markedsverdien noen gang bli mer enn $20\,000$ milliarder kroner ifølge modellen $g$ ?

I hvilket år vokste markedsverdien raskest ifølge modellen $g$ ?

En politiker mener en logistisk modell ikke er realistisk, siden det er rimelig å anta at verdien av fondet ikke vil stagnere i framtiden.

Foreslå en annen modell $h$ som du mener kan være rimelig å bruke for verdien av fondet, dersom antagelsen til politikeren legges til grunn.

Hvor mye raskere vil verdien av fondet øke per år i 2023 ifølge modellen $h$ sammenliknet med modellen $g$ ?

Fasit

$g(x) = \dfrac{20267}{1 + 42{,}35 \cdot e^{-0{,}1978x}}$

Ja, ifølge modellen vil verdien overstige $20\,000$ milliarder kroner (rundt år 2041), men den nærmer seg asymptoten $K \approx 20\,267$ og vil aldri overstige den.

Markedsverdien vokste raskest rundt år 2019 (ved $x \approx 18{,}9$ ).

$h(x) = 859{,}59 \cdot e^{0{,}1276x}$ (eksponentiell modell)

$h'(23) - g'(23) \approx \mathbf{1208}$ milliarder kroner per år (h vokser ca. 1208 mrd. kr/år raskere enn g i 2023)

LøsningsforslagKI-generert

Logistisk og eksponentiell modell for oljefondet

Vi bruker de oppgitte dataene med $x$ = antall år etter 2000:

$x$	0	4	8	12	16	20	21
$y$	386	1016	2275	3816	7510	10914	12340

Vi tilpasser en logistisk modell på formen

g(x) = \frac{K}{1 + B \cdot e^{-rx}}

Regresjon (se GeoGebra) gir parametrene $K \approx 20267$ , $B \approx 42{,}35$ og $r \approx 0{,}1978$ , slik at

\boxed{g(x) = \frac{20267}{1 + 42{,}35 \cdot e^{-0{,}1978x}}}

Den blå kurven i figuren viser at modellen passer godt til datapunktene (røde).

Den logistiske funksjonen har horisontal asymptote $y = K \approx 20\,267$ . Funksjonen nærmer seg denne asymptoten nedenfra, det vil si $g(x) < K$ for alle endelige $x$ .

Vi løser $g(x) = 20\,000$ i CAS (se linje 3):

\frac{20267}{1 + 42{,}35 \cdot e^{-0{,}1978x}} = 20000 \implies x \approx 40{,}76

Det vil si rundt år $2000 + 41 \approx \mathbf{2041}$ .

Ifølge modellen vil markedsverdien overstige 20 000 milliarder kroner (omtrent i år 2041). Verdien vil derimot aldri overstige asymptoten $K \approx 20\,267$ milliarder kroner.

CAS-beregninger for oppgave 1

Markedsverdien vokser raskest i vendepunktet til $g$ , der $g'(x)$ er maksimal. For en logistisk funksjon ligger vendepunktet ved

x = \frac{\ln B}{r} = \frac{\ln(42{,}35)}{0{,}1978} \approx 18{,}94

CAS bekrefter vendepunktet (linje 4): $(18{,}94,\; 10133{,}5)$ .

2000 + 18{,}94 \approx \mathbf{2019}

Ifølge modellen $g$ vokste markedsverdien raskest rundt år 2019. Dette kan også leses av fra grafen der den blå kurven har størst stigningstall.

En politiker mener at verdien av fondet ikke vil stagnere. Da passer ikke en logistisk modell (som har en øvre grense). En eksponentiell modell forutsetter at prosentvis vekst per år er konstant, noe som er rimelig dersom fondet fortsetter å vokse uten tak.

Vi tilpasser modellen $h(x) = A \cdot e^{kx}$ til dataene og får

\boxed{h(x) = 859{,}59 \cdot e^{0{,}1276x}}

Den oransje kurven i figuren viser at den eksponentielle modellen passer godt til dataene i perioden vi har observasjoner, men vil vokse ubegrenset fremover — i tråd med politikerens antagelse.

Vi beregner de deriverte i $x = 23$ (år 2023) ved hjelp av CAS (se linje 5 og 6):

g'(23) \approx 856{,}4 \text{ milliarder kr/år}

h'(23) \approx 2064{,}0 \text{ milliarder kr/år}

Differansen (linje 7):

h'(23) - g'(23) \approx 2064{,}0 - 856{,}4 \approx 1207{,}6 \approx \underline{\underline{1208 \text{ milliarder kr/år}}}

Ifølge modellen $h$ vil markedsverdien øke ca. 1208 milliarder kroner raskere per år i 2023 enn ifølge modellen $g$ . Eller sagt annerledes: $h$ vokser omtrent 2,4 ganger raskere enn $g$ dette året.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: logistisk funksjon, modellering, regresjon, økonomi
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon