Logistisk funksjon fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ , der $f (x)$ er på formen

f (x) = \frac{A}{1 + B \cdot e^{- k x}}, k > 0

I samme figur har vi også tegnet inn tangenten til grafen til $f$ i punktet $(0, 2)$ . Vi har også tegnet inn linjen $y = 10$ , som er en asymptote til grafen til $f$ .

Logistisk funksjon med tangent og asymptote

Bestem tallene $A$ og $B$ .

Gjør nødvendige beregninger og vis at $k = 0,5$ .

Fasit

$A = 10$ og $B = 4$

Se løsningsforslag

LøsningsforslagKI-generert

Når $x \to \infty$ , har vi $e^{- k x} \to 0$ , slik at

f (x) \to \frac{A}{1 + 0} = A

Siden asymptoten er $y = 10$ , er $A = 10$ .

Grafen går gjennom $(0, 2)$ :

f (0) = \frac{10}{1 + B \cdot e^{0}} = \frac{10}{1 + B} = 2

1 + B = 5 \Rightarrow B = 4

Vi har $f (x) = \frac{10}{1 + 4 e^{- k x}}$ . Vi deriverer:

f^{'} (x) = \frac{10 \cdot 4 k \cdot e^{- k x}}{{(1 + 4 e^{- k x})}^{2}}

Vi setter inn $x = 0$ :

f^{'} (0) = \frac{40 k \cdot e^{0}}{{(1 + 4)}^{2}} = \frac{40 k}{25} = \frac{8 k}{5}

Fra figuren leser vi av at tangenten i $(0, 2)$ går gjennom punktet $(10, 10)$ . Tangentens stigningstall er

a = \frac{10 - 2}{10 - 0} = \frac{8}{10} = 0,8

Vi setter $f^{'} (0) = 0,8$ :

\frac{8 k}{5} = \frac{4}{5} \Rightarrow 8 k = 4 \Rightarrow k = 0,5

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2021, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Logistisk funksjon, Modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

Logistisk funksjon fra graf

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Logistisk funksjon fra graf

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Logistisk funksjon fra graf

Logistisk funksjon fra graf

Lov på eksamen

Temaer