Logaritmisk likning med to løsninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal løse likningen nedenfor med hensyn på $x$

n^{n} \cdot {(\frac{x}{n})}^{\lg x} = x^{n}, x > 0, n > 0

For hånd

Vis at denne likningen kan omformes til

\lg {(\frac{x}{n})}^{\lg x} = \lg {(\frac{x}{n})}^{n}

For hånd

Vis at likningen videre kan skrives

(\lg x - n) \cdot (\lg x - \lg n) = 0

For hånd

Bruk likningen i oppgave b) til å bestemme $x$ uttrykt ved $n$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$x = 10^{n} eller x = n$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tar utgangspunkt i likningen

n^{n} \cdot {(\frac{x}{n})}^{\lg x} = x^{n}

Vi deler begge sider på $n^{n}$ , noe som er lovlig siden $n > 0$ :

{(\frac{x}{n})}^{\lg x} = \frac{x^{n}}{n^{n}} = {(\frac{x}{n})}^{n}

Siden $x > 0$ og $n > 0$ er $\frac{x}{n} > 0$ , så vi kan ta $\lg$ på begge sider:

\lg ({(\frac{x}{n})}^{\lg x}) = \lg ({(\frac{x}{n})}^{n})

Vi bruker logaritmeregelen $\lg (a^{b}) = b \cdot \lg a$ på begge sider av likningen fra a):

\lg x \cdot \lg (\frac{x}{n}) = n \cdot \lg (\frac{x}{n})

Vi skriver $\lg (\frac{x}{n}) = \lg x - \lg n$ og setter inn:

\lg x \cdot (\lg x - \lg n) = n \cdot (\lg x - \lg n)

Vi flytter alt over på venstre side:

\lg x \cdot (\lg x - \lg n) - n \cdot (\lg x - \lg n) = 0

Vi faktoriserer ut den felles faktoren $(\lg x - \lg n)$ :

(\lg x - n) \cdot (\lg x - \lg n) = 0

Et produkt er null når minst én av faktorene er null. Vi setter derfor hver faktor lik null.

Faktor 1:

\lg x - n = 0 \Rightarrow \lg x = n \Rightarrow x = 10^{n}

Faktor 2:

\lg x - \lg n = 0 \Rightarrow \lg x = \lg n \Rightarrow x = n

Likningen har altså to løsninger:

x = 10^{n} eller x = n

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2014, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Logaritmer, Likninger, Algebra

Innstillinger