Logaritmisk likning med lgx og n

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

n^{2} \cdot {(\frac{x}{n})}^{\lg x} = x^{2}, n \in ℕ

Fasit

$x = 100 eller x = n$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har likningen

n^{2} \cdot {(\frac{x}{n})}^{\lg x} = x^{2}, n \in ℕ

Både $x$ og $n$ må være positive tall for at $\lg x$ og $\lg n$ skal være definert. Vi tar $\lg$ på begge sider:

\lg (n^{2} \cdot {(\frac{x}{n})}^{\lg x}) = \lg (x^{2})

Vi bruker logaritmesetningene $\lg (a b) = \lg a + \lg b$ og $\lg (a^{b}) = b \cdot \lg a$ :

\lg (n^{2}) + \lg x \cdot \lg (\frac{x}{n}) = \lg (x^{2})

2 \lg n + \lg x \cdot (\lg x - \lg n) = 2 \lg x

For å gjøre likningen oversiktlig setter vi $u = \lg x$ og $a = \lg n$ :

2 a + u (u - a) = 2 u

u^{2} - a u + 2 a - 2 u = 0

u^{2} - (a + 2) u + 2 a = 0

Dette er en andregradslikning i $u$ . Vi kan faktorisere direkte, siden $2 \cdot a = 2 a$ og $2 + a = a + 2$ :

(u - 2) (u - a) = 0

Dette gir to løsninger:

u = 2 eller u = a

Vi går tilbake til $x$ og $n$ :

Vi verifiserer med GeoGebra CAS, som løser likningen direkte med hensyn på $x$ (her med $n$ som symbolsk parameter):

Løsning av likningen i GeoGebra CAS

CAS-utklippet bekrefter $x = 100$ eller $x = n$ .

Løsningen av likningen er derfor

x = 100 eller x = n

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Likningen har to løsninger, $x = 100$ og $x = n$ . Ved helhetsvurderingen bør sensorene spesielt kreditere elever som har med begge løsningene.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2013, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Likninger

Innstillinger