Logaritmer i stigende rekkefølge

Skriv uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge.

2 \ln e^{3} 3 \lg 70 e^{3 \ln 2}

Husk å begrunne svaret.

Fasit

3 \lg 70 < 2 \ln e^{3} < e^{3 \ln 2}

LøsningsforslagKI-generert

Vi beregner verdien av hvert uttrykk uten kalkulator.

$2 \ln e^{3}$

Vi bruker at $\ln (e^{a}) = a$ :

2 \ln e^{3} = 2 \cdot 3 = 6

$e^{3 \ln 2}$

Vi skriver om eksponenten ved å bruke at $3 \ln 2 = \ln 2^{3}$ , og deretter $e^{\ln a} = a$ :

e^{3 \ln 2} = e^{\ln 2^{3}} = 2^{3} = 8

$3 \lg 70$

Vi kan ikke beregne dette eksakt uten kalkulator, men vi kan avgrense verdien:

\lg 10 = 1 ⟹ 3 \lg 10 = 3

\lg 100 = 2 ⟹ 3 \lg 100 = 6

Siden $10 < 70 < 100$ , er $1 < \lg 70 < 2$ , altså $3 < 3 \lg 70 < 6$ .

Dermed er $3 \lg 70$ mellom $3$ og $6$ , og vi kan konkludere:

3 \lg 70 < 6 = 2 \ln e^{3} < 8 = e^{3 \ln 2}

Stigende rekkefølge: $3 \lg 70 < 2 \ln 𝒆^{3} < 𝒆^{3 \ln 2}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Svar uten argumentasjon gir ingen uttelling. Riktig sammenligning av to uttrykk kan gi ett poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2023, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer
Kompetansemål: Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene

Innstillinger