Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \ln(x^2 - 2x)

Bestem definisjonsmengden til $f$ .

Bruk derivasjon til å vise at $f$ verken har ekstremalpunkter eller vendepunkter.

Fasit

$D_f = \langle \leftarrow, 0 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle$

$f'(x) = 0$ gir $x = 1$ , som ikke er i definisjonsmengden

LøsningsforslagKI-generert

Vi trenger $x^2 - 2x > 0$ , altså $x(x - 2) > 0$ .

Fortegnslinje for $x(x-2)$ :

$x$	$\leftarrow 0$	$0$	$0 \to 2$	$2$	$2 \to$
$x(x-2)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

\underline{\underline{D_f = \langle \leftarrow, 0 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle}}

Vi deriverer med kjerneregelen:

f'(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x} = \frac{2(x-1)}{x(x-2)}

$f'(x) = 0$ gir $x = 1$ . Men $x = 1$ ligger ikke i definisjonsmengden (siden $1 \in \langle 0, 2 \rangle$ der $f$ ikke er definert). Dermed har $f$ ingen ekstremalpunkter.

Vi deriverer på nytt:

f'(x) = \frac{2(x-1)}{x^2-2x}

Med kvotientregelen:

f''(x) = \frac{2(x^2-2x) - 2(x-1)(2x-2)}{(x^2-2x)^2}

= \frac{2x^2-4x - 2(x-1) \cdot 2(x-1)}{(x^2-2x)^2} = \frac{2x^2-4x - 4(x-1)^2}{(x^2-2x)^2}

= \frac{2x^2-4x-4x^2+8x-4}{(x^2-2x)^2} = \frac{-2x^2+4x-4}{(x^2-2x)^2}

= \frac{-2(x^2-2x+2)}{(x^2-2x)^2}

Diskriminanten til $x^2-2x+2$ er $4 - 8 = -4 < 0$ , så telleren i $f''(x)$ er alltid $\neq 0$ for alle reelle $x$ . Dermed har $f$ heller ingen vendepunkter.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: derivasjon, logaritmer
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon