Logaritmefunksjon med drøfting

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = {(\ln x)}^{2} - 2 \ln x - 3, D_{f} = ⟨ 0, \to ⟩

Bestem nullpunktene til $f$ .

Vis at $f^{'} (x) = \frac{2 \ln x - 2}{x}$ og bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Disse potensene av $e$ kan komme til nytte når du skal skissere grafen:

$e^{- 1} \approx 0,4$ , $e^{1} \approx 2,7$ , $e^{2} \approx 7,4$ og $e^{3} \approx 20,1$

Fasit

$x = e^{- 1} \approx 0,37$ og $x = e^{3} \approx 20,1$

Bunnpunkt $(e, - 4)$

Vendepunkt $(e^{2}, - 3)$

Se løsningsforslag

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $f (x) = 0$ :

{(\ln x)}^{2} - 2 \ln x - 3 = 0

Vi substituerer $u = \ln x$ :

u^{2} - 2 u - 3 = 0 \Rightarrow (u - 3) (u + 1) = 0

u = 3 eller u = - 1

\ln x = 3 \Rightarrow x = e^{3} \approx 20,1

\ln x = - 1 \Rightarrow x = e^{- 1} \approx 0,37

x = e^{- 1} \approx 0,37 og x = e^{3} \approx 20,1

Vi deriverer med kjerneregelen. La $u = \ln x$ , da er $f = u^{2} - 2 u - 3$ :

f^{'} (x) = (2 \ln x - 2) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x - 2}{x}

Vi setter $f^{'} (x) = 0$ :

2 \ln x - 2 = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e

Siden $x > 0$ er nevneren alltid positiv, og fortegnet til $f^{'} (x)$ bestemmes av telleren $2 \ln x - 2$ :

Funksjonen skifter fra avtagende til voksende, altså har vi et bunnpunkt.

f (e) = {(\ln e)}^{2} - 2 \ln e - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4

Bunnpunkt: (e, - 4) \approx (2,7, - 4)

Vi deriverer $f^{'} (x) = \frac{2 \ln x - 2}{x}$ med kvotientregelen:

f^{''} (x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - (2 \ln x - 2) \cdot 1}{x^{2}} = \frac{2 - 2 \ln x + 2}{x^{2}} = \frac{4 - 2 \ln x}{x^{2}}

Vi setter $f^{''} (x) = 0$ :

4 - 2 \ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 2 \Rightarrow x = e^{2} \approx 7,4

Vi sjekker fortegnsskifte i $f^{''}$ : telleren $4 - 2 \ln x$ skifter fra positiv til negativ i $x = e^{2}$ , altså har vi et vendepunkt.

f (e^{2}) = {(\ln e^{2})}^{2} - 2 \ln e^{2} - 3 = 4 - 4 - 3 = - 3

Vendepunkt: (e^{2}, - 3) \approx (7,4, - 3)

Skisse av grafen til f

Viktige punkter i skissen:

Grafen nærmer seg $+ \infty$ når $x \to 0^{+}$ og når $x \to \infty$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2021, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Derivasjon, Logaritmer, Funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Innstillinger