Logaritmefunksjon ln x delt på x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{\ln x}{x}

Vis at $f^{'} (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ .

Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = 3 - 6 e \cdot f (x)

Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $g$ .

Fasit

Se løsningsforslag

Toppunkt $(e, e^{- 1})$

Bunnpunkt $(e, - 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ med kvotientregelen:

f^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}

Vi setter $f^{'} (x) = 0$ :

\frac{1 - \ln x}{x^{2}} = 0 \Rightarrow 1 - \ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e

Siden $x^{2} > 0$ for alle $x > 0$ , bestemmes fortegnet til $f^{'} (x)$ av telleren $1 - \ln x$ :

$f$ skifter fra voksende til avtagende, altså har vi et toppunkt:

f (e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}

Toppunkt: (e, \frac{1}{e}) \approx (2,72, 0,37)

Det er ingen bunnpunkter.

g (x) = 3 - 6 e \cdot f (x) = 3 - \frac{6 e \cdot \ln x}{x}

Vi deriverer:

g^{'} (x) = - 6 e \cdot f^{'} (x) = - 6 e \cdot \frac{1 - \ln x}{x^{2}}

$g^{'} (x) = 0$ gir $1 - \ln x = 0$ , altså $x = e$ (samme som for $f$ ).

Fortegnsanalyse: Siden $- 6 e < 0$ , snur $g^{'}$ fortegnet sammenlignet med $f^{'}$ :

$g$ skifter fra avtagende til voksende, altså har vi et bunnpunkt:

g (e) = 3 - 6 e \cdot \frac{1}{e} = 3 - 6 = - 3

Bunnpunkt: (e, - 3) \approx (2,72, - 3)

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2021, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Logaritmer, Funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Innstillinger