Linje rotert til omdreiningslegeme R2 H16

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rett linje går gjennom $A (0, 0)$ og $B (h, r)$ der $h$ og $r$ er to positive tall.

Bestem ligningen for linjen, uttrykt ved $h$ og $r$ .

Linjestykket $A B$ roteres $360 °$ om $x$ -aksen. Vi får da et omdreiningslegeme.

Bestem et uttrykk for volumet til omdreiningslegemet. Hva slags legeme har du regnet ut volumet til?

Fasit

$y = \frac{r}{h} x$

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ — en kjegle med radius $r$ og høyde $h$

LøsningsforslagKI-generert

Linjen går gjennom origo $A (0,0)$ , så den er på formen $y = a x$ . Stigningstallet er

a = \frac{r - 0}{h - 0} = \frac{r}{h}

Ligningen for linjen blir dermed

y = \frac{r}{h} x

Når linjestykket $A B$ roteres $360 °$ om $x$ -aksen fra $x = 0$ til $x = h$ , får vi volumet

V = π \int_{0}^{h} y^{2} d x = π \int_{0}^{h} {(\frac{r}{h} x)}^{2} d x = π \frac{r^{2}}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2} d x

V = π \frac{r^{2}}{h^{2}} {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{h} = π \frac{r^{2}}{h^{2}} \cdot \frac{h^{3}}{3} = \frac{1}{3} π r^{2} h

Dette er nettopp volumformelen for en kjegle med grunnflateradius $r$ og høyde $h$ . Omdreiningslegemet er altså en $kjegle$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2016, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Omdreiningslegeme, Lineære funksjoner, Volum

Innstillinger