Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rett linje med stigningstall $a$ går gjennom punktet $(2, 1)$ . Linjen skal synke mot høyre.

Linje gjennom (2,1) med skjæringspunkter A og B

For hånd

Vis at ligningen til linjen kan skrives som $y = a x - 2 a + 1, der a < 0$

Vi kaller skjæringspunktet med $x$ -aksen for $A$ og skjæringspunktet med $y$ -aksen for $B$ . Vi lar $F (a)$ være arealet av trekanten $O A B$ . $O$ er origo. Skissene nedenfor viser trekantene for $a = - 5$ , $a = - 2$ , $a = - 0,5$ og $a = - 0,1$ .

Trekanter OAB for ulike verdier av a

I denne oppgaven skal du finne ut hvilken $a$ -verdi som gjør arealet minst.

For hånd

Vis at $F (a) = - \frac{{(2 a - 1)}^{2}}{2 a}$

For hånd

Tegn grafen til $F$ . Velg $a$ -verdier i intervallet $[- 5, - \frac{1}{10}]$ . Bruk grafen til å finne det minste arealet og det tilhørende stigningstallet til linjen.

For hånd

Vis ved regning at $F^{'} (a) = \frac{(2 a - 1) \cdot (- 2 a - 1)}{2 a^{2}}$

For hånd

Tegn fortegnslinjen til $F^{'} (a)$ og bruk den til å finne det minste arealet. Hva er ligningen til linjen når arealet er minst?

Fasit

$y = a x - 2 a + 1$

$F (a) = - \frac{{(2 a - 1)}^{2}}{2 a}$

Minste areal $\approx 4$ ved $a \approx - 0,5$

$F^{'} (a) = \frac{(2 a - 1) \cdot (- 2 a - 1)}{2 a^{2}}$

Minste areal $F (- \frac{1}{2}) = 4$ , linje $y = - \frac{1}{2} x + 2$

LøsningsforslagKI-generert

Linjen har stigningstall $a$ og går gjennom punktet $(2, 1)$ . Vi bruker ettpunktsformelen

y - y_{1} = a (x - x_{1})

med $(x_{1}, y_{1}) = (2, 1)$ :

y - 1 = a (x - 2)

y = a x - 2 a + 1

Siden linjen skal synke mot høyre, må stigningstallet være negativt, altså $a < 0$ .

Vi finner koordinatene til $A$ (skjæring med $x$ -aksen) og $B$ (skjæring med $y$ -aksen).

Punktet $A$ : setter $y = 0$ i likningen fra a):

0 = a x - 2 a + 1 \Rightarrow x = \frac{2 a - 1}{a}

Så $A = (\frac{2 a - 1}{a}, 0)$ .

Punktet $B$ : setter $x = 0$ :

y = - 2 a + 1 = 1 - 2 a

Så $B = (0, 1 - 2 a)$ .

Siden $a < 0$ er $2 a - 1 < 0$ , slik at $\frac{2 a - 1}{a}$ er et kvotient av to negative tall og dermed positiv. Tilsvarende er $1 - 2 a > 0$ . Begge koordinatene er altså positive, i tråd med figuren.

Trekanten $O A B$ er rettvinklet med katetene $| O A | = \frac{2 a - 1}{a}$ og $| O B | = 1 - 2 a$ , så arealet blir

F (a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 a - 1}{a} \cdot (1 - 2 a)

Vi bruker at $(2 a - 1) (1 - 2 a) = - (2 a - 1) (2 a - 1) = - {(2 a - 1)}^{2}$ :

F (a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{- {(2 a - 1)}^{2}}{a} = - \frac{{(2 a - 1)}^{2}}{2 a}

Vi legger $F (a) = - \frac{{(2 a - 1)}^{2}}{2 a}$ inn i GeoGebra CAS og finner minimumsverdien til $F$ numerisk på intervallet $[- 5, - \frac{1}{10}]$ med Min(F,-5,-0.1), som tilsvarer det vi ville lest av grafen:

Graf av F(a) – numerisk minimum

Grafen til $F$ synker fram til omtrent $a = - 0,5$ og stiger deretter. Det minste arealet leses av grafen til å være omtrent

F_{\min} \approx 4 ved a \approx - 0,5

Vi deriverer $F (a) = - \frac{{(2 a - 1)}^{2}}{2 a}$ med kvotientregelen, der $u (a) = {(2 a - 1)}^{2}$ og $v (a) = 2 a$ :

u^{'} (a) = 2 (2 a - 1) \cdot 2 = 4 (2 a - 1), v^{'} (a) = 2

\frac{d}{d a} (\frac{u}{v}) = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} = \frac{4 (2 a - 1) \cdot 2 a - {(2 a - 1)}^{2} \cdot 2}{4 a^{2}}

Vi faktoriserer ut $2 (2 a - 1)$ i telleren:

= \frac{2 (2 a - 1) [4 a - (2 a - 1)]}{4 a^{2}} = \frac{2 (2 a - 1) (2 a + 1)}{4 a^{2}} = \frac{(2 a - 1) (2 a + 1)}{2 a^{2}}

Siden $F (a)$ har et minustegn foran brøken, blir

F^{'} (a) = - \frac{(2 a - 1) (2 a + 1)}{2 a^{2}} = \frac{(2 a - 1) \cdot (- 2 a - 1)}{2 a^{2}}

Vi kontrollerer utregningen i GeoGebra CAS:

CAS-utregning av F(a), F'(a) og minimumspunkt

CAS bekrefter at $F^{'} (a) = - (2 a + 1) \cdot \frac{2 a - 1}{2 a^{2}}$ , som er det samme uttrykket.

Vi setter opp fortegnslinje for faktorene i $F^{'} (a) = \frac{(2 a - 1) (- 2 a - 1)}{2 a^{2}}$ . Siden oppgaven krever $a < 0$ , undersøker vi fortegnet på intervallet $a < 0$ . Nevneren $2 a^{2}$ er alltid positiv, og $2 a - 1 < 0$ for alle $a < 0$ . Den eneste faktoren som skifter fortegn i det aktuelle området, er $- 2 a - 1$ , med nullpunkt $a = - \frac{1}{2}$ :

Fortegnslinje for F'(a)

$F^{'} (a)$ skifter fortegn fra negativ til positiv ved $a = - \frac{1}{2}$ , så $F$ har et minimumspunkt der. Fra CAS-utregningen over ser vi at

F (- \frac{1}{2}) = 4

Det minste arealet er dermed $F_{\min} = 4$ , ved $a = - \frac{1}{2}$ .

Linjens likning når arealet er minst, finner vi ved å sette $a = - \frac{1}{2}$ inn i likningen fra a):

y = - \frac{1}{2} x - 2 \cdot (- \frac{1}{2}) + 1 = - \frac{1}{2} x + 1 + 1

y = - \frac{1}{2} x + 2

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2009, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Optimering, Areal og omkrets, Lineære funksjoner, Fortegnslinje

Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal

Linje med negativt stigningstall og minimalt trekantareal

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer