Vi setter hver ulikhet til likhet for å finne grenselinjene:

Skjæringspunktene mellom grenselinjene gir hjørnene i det skraverte området:

• $y-5x=9$ og $5y-x=-3$: setter $y=5x+9$ inn i den andre likningen: $5(5x+9)-x=-3\Rightarrow 24x=-48\Rightarrow x=-2,y=-1$. Punkt $A=(-2,-1)$.
• $y-5x=9$ og $x+y=3$: setter $y=3-x$ inn: $(3-x)-5x=9\Rightarrow -6x=6\Rightarrow x=-1,y=4$. Punkt $B=(-1,4)$.
• $5y-x=-3$ og $x+y=3$: setter $x=3-y$ inn: $5y-(3-y)=-3\Rightarrow 6y=0\Rightarrow y=0,x=3$. Punkt $C=(3,0)$.

Området er trekanten med hjørner $A(-2,-1)$, $B(-1,4)$ og $C(3,0)$ — punktene som samtidig oppfyller alle tre ulikhetene.

Vi undersøker verdien av $3x+y$ i de tre hjørnene:

Siden $3x+y$ er en lineær funksjon på et sammenhengende (konvekst) område, tar den alle verdier mellom minsteverdien $-7$ og størsteverdien $9$ et sted i området. Fordi $5$ ligger mellom $-7$ og $9$, må det finnes punkter i det skraverte området der $3x+y=5$.

Vi kan finne et konkret eksempel ved å se hvor linja $3x+y=5$ skjærer randen $BC$ (linja $x+y=3$):

Trekker vi den andre likningen fra den første, får vi $2x=2$, altså $x=1$ og $y=2$. Punktet $(1,2)$ ligger på randen av området (se figuren) og oppfyller $3\cdot 1+2=5$.

Svar: $\underline{\underline{\text{Ja}}}$, det finnes punkter i det skraverte området som oppfyller $3x+y=5$, for eksempel $(x,y)=(1,2)$.