Vi skal skravere området som oppfyller alle tre ulikhetene samtidig:

Den siste ulikheten kan skrives om til $y<8-2x$ ved å løse med hensyn på $y$.

Grensekurvene er hyperbelen $y={\displaystyle \frac{2}{x}}+2$ og den rette linja $y=8-2x$. De skjærer hverandre der

som gir $x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}}$, altså $x\approx \mathrm{0,38}$ og $x\approx \mathrm{2,62}$.

Området avgrenset av ulikhetene er dermed «lens-formen» mellom hyperbelen (nedre grense) og linja (øvre grense), for $x$ mellom disse to skjæringspunktene. Vi tegner dette i GeoGebra:

Det mørkeblå området (der begge ulikhetene $y>\frac{2}{x}+2$ og $y<8-2x$ er oppfylt, med $x>0$) er løsningsområdet.

Vi lar

Assistenten analyserer $4$ prøver per time, teknikeren $6$ prøver per time. Laboratoriet har kapasitet til inntil $570$ analyser, så

Det kan brukes inntil $120$ timer totalt på analysene:

Teknikeren kan ikke bruke mer enn $70$ timer:

I tillegg må antall timer være ikke-negativt:

Vi tegner de fem ulikhetene fra b) i samme koordinatsystem og skraverer fellesområdet (der alle betingelsene er oppfylt samtidig):

Det mørkeblå området er et femkantet område med hjørner i $(\mathrm{0,0})$, $(\mathrm{120,0})$, $(\mathrm{75,45})$, $(\mathrm{37,5},70)$ og $(\mathrm{0,70})$.

Nå skal laboratoriet analysere nøyaktig $570$ vannprøver — ikke bare inntil $570$. Siden kapasiteten uansett er maks $570$, betyr dette at ulikheten $4x+6y\le 570$ fra b) blir til en likhet:

De andre betingelsene fra b) gjelder fortsatt: $x+y\le 120$, $y\le 70$, $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Samlet lønn (i kroner) er

Siden $2x+3y=285$, kan vi løse ut $x$:

Setter vi dette inn i lønnsuttrykket:

$L(y)$ er en voksende funksjon av $y$. For å tjene mest mulig skal derfor $y$ være så stor som mulig.

Vi finner hvilke verdier av $y$ som er tillatt langs linja $2x+3y=285$, gitt de øvrige betingelsene:

• Betingelsen $y\le 70$ setter en direkte øvre grense.
• Betingelsen $x+y\le 120$ gir, ved innsetting av $x={\displaystyle \frac{285-3y}{2}}$:

• Betingelsen $x\ge 0$ gir $y\le 95$, som er svakere enn $y\le 70$.

Dermed må $45\le y\le 70$, og $L(y)$ er størst når $y=70$ (dette er nettopp hjørnet $(\mathrm{37,5},70)$ i figuren fra c), der linja $2x+3y=285$ møter grensa $y=70$).

Da er

Vi sjekker at $x+y=\mathrm{37,5}+70=\mathrm{107,5}\le 120$, så betingelsen er oppfylt.

Maksimal lønn blir

Assistenten må arbeide $\underline{\underline{\mathrm{37,5}\text{timer}}}$, og teknikeren må arbeide $\underline{\underline{70\text{timer}}}$, for at de til sammen skal tjene mest mulig — totalt $\underline{\underline{16000\mathrm{kr}}}$.