Lineær optimering for T-skjorter og topper
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
Alle deloppgavene kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Aina, Britt og Kim dekorerer T-skjorter og topper. De har spesialisert seg på hver sin del av dekoren.
- Aina bruker 6 minutter på sin del av dekoren på en skjorte, og 30 minutter på sin del av dekoren på en topp.
- Britt bruker 20 minutter på sin del av dekoren på en skjorte og 20 minutter på sin del av dekoren på en topp.
- Kim bruker 30 minutter på sin del av dekoren på en skjorte og 12 minutter på sin del av dekoren på en topp.
Aina kan arbeide inntil 5 timer per dag. Britt kan arbeide maksimalt 6 timer og Kim 8 timer hver dag.
De dekorerer i alt skjorter og topper hver dag.
Forklar at og må tilfredsstille følgende ulikheter:
og
Tegn et passende koordinatsystem, og skraver det området som er definert av ulikhetene ovenfor.
Hver skjorte selges for 250 kroner, og hver topp selges for 300 kroner. Regn ut den største inntekten Aina, Britt og Kim kan oppnå til sammen per dag.
De innretter produksjonen slik at inntekten blir størst mulig. En av dekoratørene får da tid til overs og må rydde arbeidslokalet. Undersøk hvem av de tre som får denne jobben, og hvor mye tid denne personen kan bruke på ryddearbeidet.
Fasit
Se utledning i løsningsforslaget
Se figur
ved skjorter og topper
LøsningsforslagKI-generert
Antall minutter hver av de tre bruker per dag kan ikke overstige det de har til rådighet.
Siden man ikke kan dekorere et negativt antall skjorter eller topper, må
Aina bruker minutter per skjorte og minutter per topp, og har inntil timer minutter til rådighet:
Deler vi begge sider på , får vi
Britt bruker minutter per skjorte og minutter per topp, og har inntil timer minutter til rådighet:
Deler vi begge sider på , får vi
Kim bruker minutter per skjorte og minutter per topp, og har inntil timer minutter til rådighet:
Deler vi begge sider på , får vi
Vi tegner de tre grenselinjene
sammen med aksene og , og skraverer punktene som tilfredsstiller alle fem ulikhetene samtidig. Dette er det blåfargede området nedenfor.
Inntekten per dag er
Siden er en lineær funksjon av og , vet vi at maksimum må ligge i et av hjørnepunktene i det tillatte området fra b). Vi finner hjørnepunktene ved å se hvor grenselinjene skjærer hverandre og aksene:
- — der Kims linje skjærer -aksen:
- — skjæring mellom Britts og Kims linje
- — skjæring mellom Ainas og Britts linje
- — der Ainas linje skjærer -aksen
Vi setter alle hjørnene inn i :
| $(x,y)$ | $(0,0)$ | $(16,0)$ | $\left(\frac{44}{3},\frac{10}{3}\right)$ | $(10,8)$ | $(0,10)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $I$ | $0$ | $4000$ | $4666{,}67$ | $\textcolor{seagreen}{4900}$ | $3000$ |
Den største inntekten fås i hjørnepunktet , altså ved skjorter og topper:
Den største daglige inntekten er
Vi setter og inn i hver av de tre tidsbegrensningene og finner hvor mye tid hver dekoratør faktisk bruker:
Aina: minutter timer. Dette er nøyaktig hennes maksimale arbeidstid — hun har ingen tid til overs.
Britt: minutter timer. Dette er nøyaktig hennes maksimale arbeidstid — hun har heller ingen tid til overs.
Kim: minutter. Kim har inntil timer minutter til rådighet, så tiden til overs er
Dette stemmer med at er skjæringspunktet mellom Ainas og Britts grenselinjer — begge disse to bruker altså all tilgjengelig tid, mens Kims begrensning ikke er bindende i dette punktet.