Lineær optimering for fruktplukking
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
Alle deloppgavene kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Kari, Arne og Harald har tatt seg jobb hos en fruktbonde som dyrker epler og pærer. De har forskjellige arbeidsoppgaver. Kari plukker, Arne sorterer og Harald pakker. Tabellen viser hvor mange minutter hver av dem bruker i gjennomsnitt per kasse på arbeidsoppgaven.
| Kari | Arne | Harald | |
|---|---|---|---|
| Epler | 20 | 12 | 20 |
| Pærer | 20 | 24 | 30 |
Kari arbeider maksimalt 6 timer hver dag. Arne arbeider maksimalt 5 timer og Harald 6,5 time hver dag.
Vi lar være antall kasser epler og antall kasser pærer som blir klargjort hver dag.
Forklar at opplysningene ovenfor gir oss følgende ulikheter:
og
Skraver det området som er definert av ulikhetene ovenfor i et koordinatsystem.
Bonden betaler 150 kroner per kasse epler og 200 per kasse pærer.
Finn ut den største inntekten Kari, Arne og Harald til sammen kan oppnå per dag.
De innretter arbeidet slik at samlet inntekt blir størst mulig. Én av dem får da tid til overs og kan utføre andre arbeidsoppgaver. Undersøk hvem det er, og hvor mye tid vedkommende kan bruke på disse arbeidsoppgavene.
Fasit
Se løsningsforslag.
Se figur i løsningsforslag.
(ved , )
LøsningsforslagKI-generert
Vi lar være antall kasser epler og antall kasser pærer som klargjøres hver dag. Siden og er antall kasser, kan de ikke være negative, så
Kari (plukker) bruker minutter per kasse epler og minutter per kasse pærer, og arbeider maksimalt timer minutter per dag. Da må
Vi deler begge sider med :
Arne (sorterer) bruker minutter per kasse epler og minutter per kasse pærer, og arbeider maksimalt timer minutter per dag. Da må
Vi deler begge sider med :
Harald (pakker) bruker minutter per kasse epler og minutter per kasse pærer, og arbeider maksimalt timer minutter per dag. Da må
Vi deler begge sider med :
Dette er nettopp de fire ulikhetene i oppgaveteksten.
Vi tegner de tre grenselinjene
og skraverer området der , og ligger under (eller på) alle tre linjene samtidig. Dette gir en femkant med hjørner i , , , og , se figuren under.
Inntekten per dag er
Den største (eller minste) verdien av en lineær funksjon over et slikt skravert område oppnås alltid i et av hjørnene i området. Vi regner ut i alle hjørnene:
| Hjørne | $I = 150x + 200y$ |
|---|---|
| $(0,0)$ | $0 \, \mathrm{kr}$ |
| $(18,0)$ | $150 \cdot 18 = 2700 \, \mathrm{kr}$ |
| $(15,3)$ | $150 \cdot 15 + 200 \cdot 3 = 2250 + 600 = 2850 \, \mathrm{kr}$ |
| $(3,11)$ | $150 \cdot 3 + 200 \cdot 11 = 450 + 2200 = 2650 \, \mathrm{kr}$ |
| $(0{,}12{,}5)$ | $200 \cdot 12{,}5 = 2500 \, \mathrm{kr}$ |
Størst inntekt oppnås i hjørnet :
Vi setter og inn i tidsforbruket til hver av de tre, og sammenligner med hvor mye tid de har til rådighet.
Kari:
Kari bruker akkurat sine timer — ingen ledig tid.
Arne:
Arne har til rådighet timer minutter, så han har
ledig tid.
Harald:
Harald bruker akkurat sine timer — ingen ledig tid.
Dette stemmer med at ligger på grenselinjene til Kari og Harald (ulikhet 2 og 4 er oppfylt med likhet), mens punktet ligger innenfor grensa til Arne (ulikhet 3 er en streng ulikhet der).
Konklusjon: