Vi regner om alt til samme enhet (gram), siden ingrediensmengdene i tabellen er oppgitt i gram, mens de tilgjengelige mengdene er oppgitt i kilogram.

Mel: Han har $50\mathrm{kg}=50000\mathrm{g}$ mel. Hver kake av type A bruker $300\mathrm{g}$ mel, og hver kake av type B bruker $500\mathrm{g}$ mel. Totalt melforbruk kan ikke overstige det han har:

Deler vi begge sider med $100$, får vi $3x+5y\le 500$.

Sukker: Han har $7\mathrm{kg}=7000\mathrm{g}$ sukker. Det gir

Deler vi med $50$: $2x+y\le 140$.

Smør: Han har $\mathrm{8,5}\mathrm{kg}=8500\mathrm{g}$ smør. Det gir

Deler vi med $25$: $5x+2y\le 340$.

I tillegg må $x\ge 0$ og $y\ge 0$, siden han ikke kan bake et negativt antall kaker. Dermed må $x$ og $y$ tilfredsstille hele ulikhetssystemet gitt i oppgaven.

Vi tegner de fire grenselinjene $3x+5y=500$ (mel, rød), $2x+y=140$ (sukker, grønn) og $5x+2y=340$ (smør, blå), sammen med aksene $x=0$ og $y=0$. Det tillatte området er skjæringen av alle halvplanene, altså det blåskraverte området på figuren:

Hjørnene i området finner vi ved å løse de tilstøtende grenselikningene parvis:

• $(\mathrm{0,0})$ – origo
• $(\mathrm{0,100})$ – skjæring mellom $x=0$ og sukkerlinja $2x+y=140$
• Skjæring mellom mellinja og sukkerlinja: $3x+5y=500$ og $2x+y=140\Rightarrow y=140-2x$, som satt inn gir $3x+5(140-2x)=500\Rightarrow -7x=-200\Rightarrow x=\frac{200}{7}\approx \mathrm{28,57}$, $y=140-2\cdot \frac{200}{7}=\frac{580}{7}\approx \mathrm{82,86}$. Punktet er altså $(\frac{200}{7},\frac{580}{7})\approx (\mathrm{28,57};\mathrm{82,86})$.
• $(\mathrm{60,20})$ – skjæring mellom sukkerlinja og smørlinja
• $(\mathrm{68,0})$ – skjæring mellom smørlinja og $y=0$

Fortjenesten er gitt ved

Maksimum av en lineær funksjon over et slikt område oppnås alltid i et hjørnepunkt, så vi setter inn alle hjørnene:

Det beste hjørnet, $(\frac{200}{7},\frac{580}{7})$, gir høyest fortjeneste, men $x$ og $y$ må være hele tall (antall kaker). Vi må derfor lete etter det beste heltallspunktet nær dette hjørnet, innenfor det tillatte området.

Vi prøver $(29,82)$:

Alle tre ulikhetene er oppfylt, så $(\mathrm{29,82})$ ligger i det tillatte området. Fortjenesten blir

Til sammenligning gir naboløsningen $(\mathrm{28,83})$:

som er lavere. Dermed er $(\mathrm{29,82})$ den beste heltallige løsningen.

Bakermester Snipp bør bake $29$ kaker av type A og $82$ kaker av type B. Da blir fortjenesten $\underline{\underline{14480\mathrm{kr}}}$.

Den ekstra begrensningen er $y\le 70$ (høyst $70$ kaker av type B). Denne linja er tegnet stiplet i figuren over. Den skjærer det tillatte området i sukkerlinja $2x+y=140$:

Det nye punktet er altså $(\mathrm{35,70})$. Det nye tillatte området har hjørnene $(\mathrm{0,0})$, $(\mathrm{0,70})$, $(\mathrm{35,70})$, $(\mathrm{60,20})$ og $(\mathrm{68,0})$. Vi setter inn i $F(x,y)=160x+120y$ i de hjørnene som er nye eller kan være aktuelle:

Størst fortjeneste får vi i $(\mathrm{35,70})$, og dette punktet har heltallige koordinater, så det er også den beste løsningen i praksis.

Bakermester Snipp bør denne dagen bake $35$ kaker av type A og $70$ kaker av type B. Da blir fortjenesten $\underline{\underline{14000\mathrm{kr}}}$.