$x$ er antall tonn veigrus, og $y$ er antall tonn pukk som importeres.

Mengdebegrensninger. Forhandleren kan importere maks $900\mathrm{t}$ veigrus, og han kan ikke importere en negativ mengde. Det gir

Tilsvarende kan han importere maks $1000\mathrm{t}$ pukk, og heller ikke her kan mengden være negativ:

Volumbegrensning. Til sammen kan han importere maks $1000{\mathrm{m}}^3$ pukk og veigrus. Siden $1{\mathrm{m}}^3$ veigrus veier $\mathrm{1,60}\mathrm{t}$, tilsvarer $x$ tonn veigrus et volum på ${\displaystyle \frac{x}{\mathrm{1,60}}}{\mathrm{m}}^3$. Siden $1{\mathrm{m}}^3$ pukk veier $\mathrm{1,36}\mathrm{t}$, tilsvarer $y$ tonn pukk et volum på ${\displaystyle \frac{y}{\mathrm{1,36}}}{\mathrm{m}}^3$. Totalt volum må være maks $1000{\mathrm{m}}^3$:

Vi ganger begge sider med $\mathrm{1,60}\cdot \mathrm{1,36}=\mathrm{2,176}$:

Dette er de tre oppgitte ulikhetene.

Inntektsfunksjonen er

Her er $74$ kr prisen per tonn veigrus (oppgitt), og siden $x$ og $y$ spiller samme rolle i formelen (antall tonn multiplisert med pris per tonn), må $106$ kr være prisen per tonn pukk.

Svar: Prisen på pukk er $\underline{\underline{106\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{n}}}$.

Ulikhetene fra a) beskriver et flersidet område (et polygon) i $xy$-planet. Fordi $F(x,y)$ er en lineær funksjon, vil det største eller minste verdien alltid finnes i et hjørnepunkt av dette området. Vi finner hjørnene ved å skjære grenselinjene parvis:

• $A=(0,0)$
• $B=(900,0)$
• $C$: skjæring mellom $x=900$ og $\mathrm{1,36}x+\mathrm{1,60}y=2176$: $\mathrm{1,36}\cdot 900+\mathrm{1,60}y=2176\Rightarrow y=595$, altså $C=(900,595)$
• $D$: skjæring mellom $y=1000$ og $\mathrm{1,36}x+\mathrm{1,60}y=2176$: $\mathrm{1,36}x+\mathrm{1,60}\cdot 1000=2176\Rightarrow x={\displaystyle \frac{576}{\mathrm{1,36}}}\approx \mathrm{423,5}$, altså $D\approx (\mathrm{423,5},1000)$
• $E=(0,1000)$

Punktet $(900,1000)$ er ikke med, fordi $\mathrm{1,36}\cdot 900+\mathrm{1,60}\cdot 1000=2824>2176$ bryter volumbegrensningen.

Vi setter inn hvert hjørne i $F(x,y)=74x+106y$:

Størst inntekt får forhandleren i hjørnet $D\approx (\mathrm{423,5},1000)$.

Figuren viser hvordan inntektslinjen $74x+106y=k$ flyttes lengst mulig i retning økende $k$ innenfor det tillatte området — den siste linjen som fortsatt berører området, går nettopp gjennom hjørnet $D$.

Svar: Forhandleren bør kjøpe inn omtrent $\underline{\underline{\mathrm{423,5}\mathrm{t}}}$ veigrus og $\underline{\underline{1000\mathrm{t}}}$ pukk. Dette gir en maksimal inntekt på