Lineær optimering av osteproduksjon Kraftig og Edel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer to typer oster, Kraftig og Edel. Kraftig veier 200 g, mens Edel veier 250 g.

Bedriften kan lage inntil 60 kg ost per dag. Eierne vil at det skal produseres minst 24 kg Kraftig og minst 18 kg Edel per dag.

De ansatte i bedriften arbeider til sammen 32 timer per dag. De bruker i gjennomsnitt 7,5 minutter på å produsere en ost av merket Kraftig og 6 minutter på å produsere en ost av merket Edel.

La $x$ være antall oster de produserer hver dag av Kraftig, og $y$ være antall oster de produserer hver dag av Edel.

For hånd

Forklar at $x$ og $y$ må ligge i et område bestemt av ulikhetene

\begin{matrix} x & \geq 120 \\ y & \geq 72 \\ x + 1,25 y & \leq 300 \\ 1,25 x + y & \leq 320 \end{matrix}

Kalkulator

Marker området som er avgrenset av ulikhetene i oppgave a), i et koordinatsystem.

Bedriften har en fortjeneste på 16 kroner per ost for Kraftig og 12 kroner per ost for Edel.

Kalkulator

Hva er det største overskuddet bedriften kan ha per dag?

Fasit

Ulikhetene følger av vekt- og tidskravene (se utledning under).

Området er firkanten med hjørner $(120, 72)$ , $(120, 144)$ , $(177,8, 97,8)$ og $(198,4, 72)$ — se figur.

$Det største overskuddet er ca. 4 040 kr per dag$

LøsningsforslagKI-generert

Kraftig veier $200 g = 0,2 kg$ , og Edel veier $250 g = 0,25 kg$ .

Minstekrav til produksjon. Bedriften skal produsere minst $24 kg$ Kraftig, altså

0,2 x \geq 24 \Rightarrow x \geq \frac{24}{0,2} = 120

og minst $18 kg$ Edel, altså

0,25 y \geq 18 \Rightarrow y \geq \frac{18}{0,25} = 72

Totalvekt. Til sammen kan bedriften lage inntil $60 kg$ ost per dag, så

0,2 x + 0,25 y \leq 60

Deler vi hele ulikheten på $0,2$ , får vi

x + 1,25 y \leq 300

Arbeidstid. De ansatte arbeider til sammen $32 timer = 32 \cdot 60 = 1920 minutter$ per dag. En Kraftig-ost tar $7,5$ minutter og en Edel-ost tar $6$ minutter å lage, så

7,5 x + 6 y \leq 1920

Deler vi på $6$ , får vi

1,25 x + y \leq 320

Dermed må $x$ og $y$ oppfylle nettopp de fire ulikhetene som er gitt i oppgaven.

Vi tegner de fire grenselinjene $x = 120$ , $y = 72$ , $x + 1,25 y = 300$ og $1,25 x + y = 320$ , og markerer området der alle fire ulikhetene er oppfylt samtidig. Området er en firkant med hjørner i $(120, 72)$ , $(120, 144)$ , $(177,8, 97,8)$ og $(198,4, 72)$ .

Området avgrenset av ulikhetene, med de fire hjørnepunktene markert

Fortjenesten er $F (x, y) = 16 x + 12 y$ kroner. For et lineært optimeringsproblem vet vi at den største (eller minste) verdien av en lineær funksjon over et slikt område alltid finnes i et av hjørnepunktene. Vi regner ut $F$ i alle fire hjørnene:

Hjørne	$F (x, y) = 16 x + 12 y$
$(120, 72)$	$2 784$
$(120, 144)$	$3 648$
$(177,8, 97,8)$	$4 017,8$
$(198,4, 72)$	$4 038,4$

Den største verdien finner vi i hjørnet $(198,4, 72)$ , med $F \approx 4 038,4$ kr.

Merk at $x$ og $y$ er antall oster og derfor må være hele tall, mens $(198,4, 72)$ ikke er et heltallspunkt — det nærmeste gyldige heltallspunktet i området er $(196, 75)$ , som gir $F = 4 036$ kr.

Det største overskuddet bedriften kan ha er dermed $ca. 4 040 kroner per dag$ .

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Hjørnepunktene finner vi ved å løse grenselikningene parvis med innsettingsmetoden.

$x = 120$ og $y = 72$ gir direkte hjørnet $(120, 72)$ .

Setter vi $x = 120$ inn i $x + 1,25 y = 300$ :

120 + 1,25 y = 300 \Rightarrow 1,25 y = 180 \Rightarrow y = 144

som gir hjørnet $(120, 144)$ .

Setter vi $y = 72$ inn i $1,25 x + y = 320$ :

1,25 x + 72 = 320 \Rightarrow 1,25 x = 248 \Rightarrow x = 198,4

som gir hjørnet $(198,4, 72)$ .

De to skrå linjene $x + 1,25 y = 300$ og $1,25 x + y = 320$ løses som et likningssystem. Fra første likning: $x = 300 - 1,25 y$ . Sett inn i andre likning:

1,25 (300 - 1,25 y) + y = 320 \Rightarrow 375 - 1,5625 y + y = 320 \Rightarrow - 0,5625 y = - 55 \Rightarrow y = 97,8

og $x = 300 - 1,25 \cdot 97,8 = 177,8$ , som gir hjørnet $(177,8, 97,8)$ .

Fortjenesten $F (x, y) = 16 x + 12 y$ regnes deretter ut i hvert hjørne på kalkulatoren:

Hjørne	$F = 16 x + 12 y$
$(120, 72)$	$2 784$
$(120, 144)$	$3 648$
$(177,8, 97,8)$	$4 017,8$
$(198,4, 72)$	$4 038,4$

Størst fortjeneste er i hjørnet $(198,4, 72)$ . Siden $x$ og $y$ må være hele tall, kan vi ikke produsere nøyaktig $198,4$ oster; nærmeste hele tallpunkt i området, $(196, 75)$ , gir $F = 4 036$ kr. Svaret rundes av til ca. $4 040$ kroner per dag.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2022, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Økonomi

Lineær optimering av osteproduksjon Kraftig og Edel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Lineær optimering av osteproduksjon Kraftig og Edel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Lineær optimering av osteproduksjon Kraftig og Edel

Lineær optimering av osteproduksjon Kraftig og Edel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer