Lineær og eksponentiell modell for hundreåringer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser antall nordmenn over 100 år for utvalgte år i perioden 1975–2006.

År	1975	1980	1985	1990	1995	2000	2005	2006
Antall nordmenn over 100 år	115	158	243	300	405	414	511	533

For hånd

Merk av verdiene i tabellen ovenfor i et koordinatsystem der du på $x$ -aksen lar $x = 0$ svare til år 1975.

Krever PC

Lag en lineær modell som passer til dataene i tabellen ovenfor. Hvor mange nordmenn over 100 år vil det være i år 2030 ifølge denne modellen?

Krever PC

Lag en eksponentiell modell som passer til dataene i tabellen ovenfor. Hvor mange nordmenn over 100 år vil det være i år 2030 ifølge denne modellen?

En prognose sier at antallet nordmenn over 100 år vil tredobles i løpet av de neste 20–25 årene.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Vurder hvordan denne prognosen passer med de to modellene i b) og c).

Kilde: www.bokn.kommune.no

Fasit

Se punktplott i figur.

$f (x) = 13,5 x + 105$ , $f (55) \approx 848 personer$

$g (x) = 132 \cdot {1,049}^{x}$ , $g (55) \approx 1808 personer$

Den eksponentielle modellen stemmer godt med prognosen, den lineære gjør det ikke.

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall år etter 1975, slik at $x = 0$ svarer til 1975, $x = 5$ svarer til 1980, osv. Da får vi punktene

(0,115), (5,158), (10,243), (15,300), (20,405), (25,414), (30,511), (31,533)

Disse er avsatt som røde punkter i koordinatsystemet i figuren under.

Vi bruker regresjon på GeoGebra til å finne den lineære modellen som passer best til datapunktene (minste kvadraters metode). Dette gir

f (x) = 13,5065 x + 105,265 \approx 13,5 x + 105

Året 2030 svarer til $x = 2030 - 1975 = 55$ . Vi setter inn i modellen:

f (55) \approx 13,5 \cdot 55 + 105 \approx 848

Ifølge den lineære modellen vil det være omtrent $848 personer$ over 100 år i Norge i 2030.

Vi bruker regresjon på GeoGebra til å finne den eksponentielle modellen som passer best til datapunktene. Dette gir

g (x) = 132,375 \cdot {1,04868}^{x} \approx 132 \cdot {1,049}^{x}

Dette betyr en årlig vekst på omtrent $4,9 %$ . Vi setter inn $x = 55$ :

g (55) \approx 132 \cdot {1,049}^{55} \approx 1808

Ifølge den eksponentielle modellen vil det være omtrent $1808 personer$ over 100 år i Norge i 2030.

Figuren under viser datapunktene sammen med begge modellene, med punktene $Q_{1} = (55, f (55))$ og $Q_{2} = (55, g (55))$ markert for 2030.

Prognosen sier at antallet skal tredobles i løpet av 20–25 år regnet fra 2006-nivået på $533$ personer, altså til omtrent

3 \cdot 533 \approx 1600 personer, rundt år 2026 – 2031

Vi sammenligner dette med modellenes anslag for 2030 ( $x = 55$ ):

Den lineære modellen gir $f (55) \approx 848$ personer, som er langt under prognosens $1600$ .
Den eksponentielle modellen gir $g (55) \approx 1808$ personer, som ligger nær prognosens anslag på ca. $1600$ .

Vi ser altså at $den eksponentielle modellen stemmer klart best med prognosen$ om tredobling, mens den lineære modellen underestimerer veksten kraftig. Dette henger sammen med at en tredobling i løpet av et fast antall år tilsvarer en konstant prosentvis vekst, som nettopp er kjennetegnet på eksponentiell vekst — ikke lineær vekst med et konstant antall personer per år.

Samtidig bør vi være kritiske til å bruke den eksponentielle modellen over lang tid: en vekst på $4,9 %$ per år vil før eller siden gi urealistisk høye tall, siden antall hundreåringer i praksis er begrenset av befolkningens størrelse og levealder. Modellen er derfor mest pålitelig som prognose noen tiår fram i tid, ikke i det uendelige.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P H2008, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner

Lineær og eksponentiell modell for hundreåringer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Lineær og eksponentiell modell for hundreåringer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Lineær og eksponentiell modell for hundreåringer

Lineær og eksponentiell modell for hundreåringer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer