Lineær modell for Klaras høyde

Lineær modell for Klaras høyde

Tabellen nedenfor viser høyden til Klara noen år fra hun var 4 år, til hun var 10 år.

Alder (år)45810
Høyde (cm)100107128142

Lag en modell som viser sammenhengen mellom høyden og alderen til Klara basert på tallene i tabellen.

Hvor høy vil Klara være når hun fyller 19 år, ifølge modellen?

Klara var 50 cm høy da hun ble født.

Gjør beregninger og vurder gyldighetsområdet til modellen du fant i oppgave a).

Fasit

H(x)=7x+72\underline{\underline{H(x) = 7x + 72}}

H(19)=205cm\underline{\underline{H(19) = 205 \, \mathrm{cm}}} — urealistisk høyt

Modellen er bare gyldig for alder omtrent 4x144 \leq x \leq 14 år

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut stigningen ved hjelp av to punkter fra tabellen. Vi bruker punktene (4,100)(4, 100) og (10,142)(10, 142):

a=142100104=426=7a = \frac{142 - 100}{10 - 4} = \frac{42}{6} = 7

Stigningen er 77, som betyr at Klara vokser 7cm7 \, \mathrm{cm} per år.

Vi bruker punkt-stigningstall-formen og setter inn punktet (4,100)(4, 100) for å finne konstantleddet bb:

H(x)=7x+bH(x) = 7x + b 100=74+b100 = 7 \cdot 4 + b 100=28+b100 = 28 + b b=72b = 72

Vi sjekker at modellen stemmer med de andre verdiene i tabellen:

  • H(5)=75+72=35+72=107H(5) = 7 \cdot 5 + 72 = 35 + 72 = 107
  • H(8)=78+72=56+72=128H(8) = 7 \cdot 8 + 72 = 56 + 72 = 128
  • H(10)=710+72=70+72=142H(10) = 7 \cdot 10 + 72 = 70 + 72 = 142

Modellen er:

H(x)=7x+72\underline{\underline{H(x) = 7x + 72}}

der xx er alderen i år og H(x)H(x) er høyden i cm.

Vi setter x=19x = 19 inn i modellen:

H(19)=719+72=133+72=205cmH(19) = 7 \cdot 19 + 72 = 133 + 72 = \underline{\underline{205 \, \mathrm{cm}}}

Ifølge modellen vil Klara være 205cm205 \, \mathrm{cm} høy når hun fyller 19 år. Det er svært høyt og lite realistisk — de fleste jenter er ferdigvokst rundt 16–17 år.

Ifølge oppgaven var Klara 50cm50 \, \mathrm{cm} høy da hun ble født, det vil si ved x=0x = 0.

Vi sjekker hva modellen gir for x=0x = 0:

H(0)=70+72=72cmH(0) = 7 \cdot 0 + 72 = 72 \, \mathrm{cm}

Modellen gir 72cm72 \, \mathrm{cm} ved fødselen, men den faktiske fødselshøyden var 50cm50 \, \mathrm{cm}. Det er et avvik på 22cm22 \, \mathrm{cm}.

Vi kan også finne hvilken alder modellen gir høyden 50cm50 \, \mathrm{cm}:

7x+72=507x + 72 = 50 7x=227x = -22 x3,1 a˚rx \approx -3{,}1 \text{ år}

En negativ alder gir ingen mening.

Modellen stemmer ikke for nyfødte eller små barn, og vil heller ikke stemme for voksne (man vokser ikke 7cm7 \, \mathrm{cm} i året hele livet). Gyldighetsområdet er omtrent 4x144 \leq x \leq 14 år, det vil si aldersspennet tabellen dekker.

Sensorveiledning
6 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig modell, får 1 poeng.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar ut fra modellen i oppgave a), får 1 poeng.

For å få full uttelling, må kandidaten kommentere både nedre og øvre grense av et gyldighetsområde.