Lineær modell for bom i hyttefelt 1P V26

Petter, Ola og Ine eier hver sin hytte. Hyttene ligger i et stort hyttefelt. På veien inn til hyttefeltet er det satt opp en bom. Alle hytteeierne må betale en fast årsavgift for å kunne bruke veien. I tillegg må de betale for hver bompassering.

I fjor passerte Petter bommen $40$ ganger. Han betalte til sammen $3200$ kroner i årsavgift og for passeringer.
Ola passerte bommen $100$ ganger og betalte til sammen $6200$ kroner.

Hvor mye betaler hver hytteeier i årsavgift? Hva er prisen per bompassering?

Sett opp en lineær modell som viser sammenhengen mellom antall bompasseringer og den totale prisen hver hytteeier må betale hvert år.

Ine betalte til sammen $5200$ kroner.

Hvor mange ganger passerte hun bommen?

Fasit

Årsavgift: $\underline{\underline{1200 \, \mathrm{kr}}}$ , pris per passering: $\underline{\underline{50 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{y = 50x + 1200}}$

$\underline{\underline{x = 80 \text{ passeringer}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $a$ være prisen per bompassering og $b$ være den faste årsavgiften.

Fra opplysningene om Petter og Ola setter vi opp to likninger:

\textcolor{steelblue}{40a + b = 3200} \quad (1)

\textcolor{seagreen}{100a + b = 6200} \quad (2)

Vi trekker likning $(1)$ fra likning $(2)$ :

(2) - (1): \quad 100a - 40a + b - b = 6200 - 3200

60a = 3000

a = \frac{3000}{60} = 50

Prisen per bompassering er $\underline{\underline{50 \, \mathrm{kr}}}$ .

Vi setter $a = 50$ inn i likning $(1)$ for å finne årsavgiften:

40 \cdot 50 + b = 3200

2000 + b = 3200

b = 3200 - 2000 = 1200

Den faste årsavgiften er $\underline{\underline{1200 \, \mathrm{kr}}}$ .

Vi lar $x$ være antall bompasseringer og $y$ være den totale prisen i kroner. Da er modellen:

\underline{\underline{y = 50x + 1200}}

Ine betalte totalt $5200$ kroner. Vi setter $y = 5200$ inn i modellen og løser for $x$ :

5200 = 50x + 1200

5200 - 1200 = 50x

4000 = 50x

x = \frac{4000}{50} = 80

Ine passerte bommen $\underline{\underline{80 \text{ ganger}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: lineære likningssystem, modellering, lineær funksjon
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Modellere situasjonar knytte til tema frå samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultata og for når modellane er gyldige