Lineær førsteordens differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y^{'} - x y = x, y (0) = 1

Fasit

$y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen

y^{'} - x y = x

er en lineær førsteordens differensiallikning på formen $y^{'} + p (x) y = q (x)$ med $p (x) = - x$ og $q (x) = x$ .

Vi finner integrerende faktor:

μ (x) = e^{\int p (x) d x} = e^{\int - x d x} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}

Vi multipliserer likningen med $μ (x)$ :

e^{- \frac{x^{2}}{2}} y^{'} - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = x e^{- \frac{x^{2}}{2}}

Venstre side er den deriverte av produktet $y \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ :

{(y \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}})}^{'} = x e^{- \frac{x^{2}}{2}}

Vi integrerer begge sider med hensyn på $x$ :

y \cdot e^{- \frac{x^{2}}{2}} = \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x = - e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C

der vi har brukt at $\int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ løses ved substitusjon $u = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Vi løser for $y$ :

y = - 1 + C \cdot e^{\frac{x^{2}}{2}}

Initialbetingelsen $y (0) = 1$ gir

1 = - 1 + C \cdot e^{0} = - 1 + C \Rightarrow C = 2

Dette gir løsningen

y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2016, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning

Innstillinger