Likningssystem og lineær optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssystemet

{\begin{matrix} x + y = 1 \\ - 2 x + y = - 5 \end{matrix}

Skraver området som er begrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.

{\begin{matrix} x - 2 y \geq - 8 \\ x + y \geq 1 \\ y \geq 2 x - 5 \end{matrix}

Bestem den størst mulige verdien størrelsen $3 x - y$ kan få dersom $(x, y)$ skal ligge i det skraverte området.

Fasit

$x = 2, y = - 1$

Se skravert område i løsningsforslaget.

$3 x - y = 11$ (i punktet $(6, 7)$ )

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser likningssystemet

{\begin{matrix} x + y = 1 \\ - 2 x + y = - 5 \end{matrix}

med addisjonsmetoden. Vi trekker den andre likningen fra den første:

(x + y) - (- 2 x + y) = 1 - (- 5)

3 x = 6

x = 2

Vi setter $x = 2$ inn i den første likningen:

2 + y = 1 \Rightarrow y = - 1

Kontroll i den andre likningen: $- 2 \cdot 2 + (- 1) = - 5$ . Stemmer.

x = 2, y = - 1

Vi finner grenselinjene til ulikhetene ved å skrive dem på formen $y = \dots$ :

l_{1} : x - 2 y = - 8 \Rightarrow y = \frac{x + 8}{2}

l_{2} : x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x

l_{3} : y = 2 x - 5

Siden alle tre ulikhetene har $\geq$ , skal vi skravere over/på linje $l_{2}$ og $l_{3}$ , og under/på linje $l_{1}$ (etter at ulikhet 1 er skrevet om med $y$ alene, blir den $y \leq \frac{x + 8}{2}$ ). Området som tilfredsstiller alle tre ulikhetene samtidig, er der de tre skraveringene overlapper:

Skravert område avgrenset av de tre ulikhetene

Det mørkest skraverte området (der alle tre fargene overlapper) er det skraverte området vi søker. Det er en trekant med hjørner i $(- 2, 3)$ , $(2, - 1)$ og $(6, 7)$ — disse finner vi ved å løse de tre linjene parvis mot hverandre.

Siden $3 x - y$ er en lineær størrelse, vil den størst mulige verdien i det skraverte området finnes i et av hjørnene til området (jf. teorien om lineær optimering). Vi finner hjørnene ved å løse linjene parvis:

l_{1} \cap l_{2} : (x, y) = (- 2, 3)

l_{1} \cap l_{3} : (x, y) = (6, 7)

l_{2} \cap l_{3} : (x, y) = (2, - 1)

Vi setter alle tre hjørnene inn i uttrykket $3 x - y$ :

(- 2, 3) : 3 \cdot (- 2) - 3 = - 9

(6, 7) : 3 \cdot 6 - 7 = 11

(2, - 1) : 3 \cdot 2 - (- 1) = 7

Størst verdi får vi i hjørnet $(6, 7)$ :

3 x - y = 11

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2018, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Likningssystem, Lineær optimering, Ulikheter

Likningssystem og lineær optimering

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Likningssystem og lineær optimering

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Likningssystem og lineær optimering

Likningssystem og lineær optimering

Lov på eksamen

Temaer