Vi løser likningssystemet

med innsettingsmetoden. Fra likning 2 løser vi for $x$:

Setter vi dette inn i likning 1:

Vi deler på $50$:

som gir $y=3$ eller $y=4$.

• For $y=3$: $x=7\cdot 3-25=-4$
• For $y=4$: $x=7\cdot 4-25=3$

Kontroll: ${(-4)}^2+3^2=16+9=25✓$ og $3^2+4^2=9+16=25✓$

Løsningene er $\underline{\underline{(x,y)=(-\mathrm{4,3})}}$ og $\underline{\underline{(x,y)=(\mathrm{3,4})}}$.

Som en grafisk kontroll (andre metode) tegner vi sirkelen $x^2+y^2=25$ og linjen $7y-x=25$ i GeoGebra og finner skjæringspunktene:

Skjæringspunktene $(-\mathrm{4,3})$ og $(\mathrm{3,4})$ stemmer med regningen over.

Vi løser ulikheten $6x^2-11x+3\ge 0$. Først finner vi nullpunktene til $6x^2-11x+3$ med abc-formelen:

Siden $6x^2-11x+3$ er et andregradsuttrykk med positiv ledende koeffisient, er parabelen en oppoverbue. Uttrykket er da $\ge 0$ utenfor (og på) nullpunktene:

Vi løser logaritmelikningen $\lg (x-3)=3+\lg 2$. Vi flytter $\lg 2$ over på venstre side og bruker regelen $\lg a-\lg b=\lg {\displaystyle \frac{a}{b}}$:

Dette betyr at ${\displaystyle \frac{x-3}{2}}={10}^3=1000$:

Kontroll av definisjonsmengden: $x-3>0$, altså $x>3$. Siden $2003>3$, er løsningen gyldig.

Løsningen er $\underline{\underline{x=2003}}$.

Vi skal finne $a$ slik at likningen

bare har én løsning. Vi samler alle ledd på venstre side:

Tilfelle 1: $a=0$. Likningen blir da lineær, $2x+3=0$, som alltid har nøyaktig én løsning:

Tilfelle 2: $a\ne 0$. Da er likningen av andre grad, og den har nøyaktig én løsning når diskriminanten er null:

(Da blir løsningen $x=-{\displaystyle \frac{2}{2a}}=-{\displaystyle \frac{2}{2/3}}=-3$.)

Likningen har akkurat én løsning for $\underline{\underline{a=0}}$ eller $\underline{\underline{a={\displaystyle \frac{1}{3}}}}$.