Likeverdige arealer mellom to grafer A1 lik A2

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 5 x, D_{f} = ℝ

g (x) = - x^{2} + 3 x, D_{g} = ℝ

Grafene til $f$ og $g$ skjærer hverandre i tre punkter.

Grafene avgrenser to områder, med arealer $A_{1}$ og $A_{2}$ .

Arealer A1 og A2 mellom grafene til f og g

Vis ved regning at $A_{1} = A_{2}$

Fasit

$A_{1} = A_{2} = 8$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først skjæringspunktene mellom grafene ved å løse $f (x) = g (x)$ , altså $h (x) = f (x) - g (x) = 0$ .

h (x) = f (x) - g (x) = (2 x^{3} - x^{2} - 5 x) - (- x^{2} + 3 x) = 2 x^{3} - 8 x

2 x^{3} - 8 x = 0

2 x (x^{2} - 4) = 0

x = 0, x = - 2, x = 2

Grafene skjærer altså hverandre i $x = - 2$ , $x = 0$ og $x = 2$ , i tråd med figuren.

For $x \in ⟨ - 2, 0 ⟩$ er $h (x) > 0$ (f.eks. $h (- 1) = - 2 + 8 = 6 > 0$ ), så $f$ ligger over $g$ , og $A_{1}$ er arealet mellom grafene på dette intervallet:

A_{1} = \int_{- 2}^{0} (f (x) - g (x)) d x = \int_{- 2}^{0} (2 x^{3} - 8 x) d x = {[\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}]}_{- 2}^{0}

A_{1} = (0 - 0) - (\frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4) = 0 - (8 - 16) = 0 - (- 8) = 8

For $x \in ⟨ 0, 2 ⟩$ er $h (x) < 0$ (f.eks. $h (1) = 2 - 8 = - 6 < 0$ ), så $g$ ligger over $f$ , og $A_{2}$ er arealet mellom grafene på dette intervallet:

A_{2} = \int_{0}^{2} (g (x) - f (x)) d x = - \int_{0}^{2} (2 x^{3} - 8 x) d x = - {[\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}]}_{0}^{2}

A_{2} = - ((\frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4) - 0) = - (8 - 16) = - (- 8) = 8

Siden $A_{1} = 8$ og $A_{2} = 8$ , har vi vist ved regning at

A_{1} = A_{2} = 8

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 1, oppgave 10
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Bestemt integral, Integrasjon

Likeverdige arealer mellom to grafer A1 lik A2

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Likeverdige arealer mellom to grafer A1 lik A2

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Likeverdige arealer mellom to grafer A1 lik A2

Likeverdige arealer mellom to grafer A1 lik A2

Lov på eksamen

Temaer