Levetiden til lyspærer

Levetiden $T$ i timer til en tilfeldig lyspære av en bestemt type er en stokastisk variabel. Det viser seg at

P (T \leq t) = \int_{- \infty}^{t} f (x) d x

der tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved

f (t) = {\begin{matrix} k \cdot e^{- 0,005 t}, & t > 0 \\ 0, & t \leq 0 \end{matrix}

For hånd

Vis at $k = 0,005$ .

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at lyspærens levetid er mer enn 400 timer?

Forventningsverdien $μ$ til en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved

μ = \int_{- \infty}^{\infty} x \cdot f (x) d x

Oppsett for hånd

Bestem forventningsverdien til $T$ .

Fasit

Løs likningen $\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{- 0,005 t} d t = 1$

$\frac{1}{e^{2}}$

200

Løsningsforslag

Siden $f (t) = 0$ når $t \leq 0$ så vil

\int_{- \infty}^{0} f (t) d t = 0

Vi trenger derfor kun å bry oss tilfellet hvor $t > 0$ .

Vi vet at et krav til sannsynlighetsfordelinger er at summen av alle sannsynlighetene skal bli 1. For kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger har vi altså

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

I vårt tilfelle ønsker vi altså å bestemme $k$ slik at den tilfredsstiller likningen

\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{- 0,005 t} d t = 1

Vi kan løse denne i GeoGebra eller vi kan integrere for hånd:

\begin{matrix} {[\frac{k}{- 0.005} \cdot e^{- 0.005 t}]}_{0}^{\infty} & = 1 \\ (\frac{k}{- 0.005} \cdot 0) - (\frac{k}{- 0.005} \cdot 1) & = 1 \\ \frac{- k}{- 0.005} & = 1 \\ k & = 0.005 \end{matrix}

Jeg har vist at $k = 0,005$

Jeg kan bruke integralet av tetthetsfunksjonen til å beregne sannsynligheten. Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mellom 0 og 400 timer er gitt ved

\int_{0}^{400} 0,005 \cdot e^{- 0,005 t} d t = 1 - \frac{1}{e^{2}}

Siden summen av sannsynlighetene for alle utfallene er 1 så kan vi finne sannsynligheten for at lyspæra varer mellom 400 og uendelig timer ved å ta

1 - (1 - \frac{1}{e^{2}}) = \frac{1}{e^{2}}

Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mer enn 400 timer er $\frac{1}{e^{2}} \approx 0,135$ .

Jeg bruker uttrykket for forventningsverdi som står i oppgaveteksten og beregner ved hjelp av GeoGebra:

μ_{T} = \int_{0}^{\infty} t \cdot 0,005 \cdot e^{- 0,005 t} d t = 200

Forventningsverdien for $T$ er $μ_{T} = 200$ timer.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 E2022, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Sannsynlighet, Integrasjon, Bevis
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler

Levetiden til lyspærer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Levetiden til lyspærer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Levetiden til lyspærer

Levetiden til lyspærer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer