Lengde og vekt hos villaks

Når vekten til en type villaks passerer $1{,}5 \mathrm{~kg}$ , er sammenhengen mellom vekt og lengde tilnærmet lineær i en periode. Nedenfor ser du en modell som illustrerer dette.

Lineær modell for sammenheng mellom vekt over 1,5 kg og lengde

Modellen kan uttrykkes på formen

L(x) = ax + b

Bestem $a$ og $b$ .
Gi en praktisk tolkning av $a$ og $b$ i denne modellen.

Frode var på elvefiske og fikk to lakser. Den ene veide $3{,}2 \mathrm{~kg}$ og var $70 \mathrm{~cm}$ lang. Den andre veide $5{,}8 \mathrm{~kg}$ og var $84 \mathrm{~cm}$ lang.

Vurder gyldighetsområdet til modellen i oppgave a).

Fasit

$\underline{\underline{L(x) = 10x + 54}}$ , der $a = 10$ og $b = 54$

Modellen passer for laks rundt $3{,}2 \, \mathrm{kg}$ , men ikke for laks på $5{,}8 \, \mathrm{kg}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Fra grafen kan vi lese av to punkter som ligger på linja:

P_1 = (0{,}4 \,,\, 58) \qquad P_2 = (0{,}8 \,,\, 62)

Vi finner stigningstallet $a$ ved å bruke formelen:

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{62 - 58}{0{,}8 - 0{,}4} = \frac{4}{0{,}4} = 10

Vi finner konstantleddet $b$ ved å sette inn et av punktene, for eksempel $P_1 = (0{,}4 \,,\, 58)$ :

58 = 10 \cdot 0{,}4 + b

58 = 4 + b

b = 54

Dermed er modellen:

\boxed{L(x) = 10x + 54}

Tolkning av $a = 10$ : Når laksen veier $1 \, \mathrm{kg}$ mer, øker lengden med omtrent $10 \, \mathrm{cm}$ .

Tolkning av $b = 54$ : Når laksen veier nøyaktig $1{,}5 \, \mathrm{kg}$ (det vil si $x = 0$ ), er den ifølge modellen $54 \, \mathrm{cm}$ lang.

Vi bruker modellen til å beregne forventet lengde for de to laksene Frode fikk. Husk at $x$ er antall kg over $1{,}5 \, \mathrm{kg}$ .

Laks 1: $3{,}2 \, \mathrm{kg}$ , det vil si $x = 3{,}2 - 1{,}5 = 1{,}7$

L(1{,}7) = 10 \cdot 1{,}7 + 54 = 17 + 54 = 71 \, \mathrm{cm}

Modellen gir $71 \, \mathrm{cm}$ , og fisken var $70 \, \mathrm{cm}$ . Dette stemmer godt.

Laks 2: $5{,}8 \, \mathrm{kg}$ , det vil si $x = 5{,}8 - 1{,}5 = 4{,}3$

L(4{,}3) = 10 \cdot 4{,}3 + 54 = 43 + 54 = 97 \, \mathrm{cm}

Modellen gir $97 \, \mathrm{cm}$ , men fisken var bare $84 \, \mathrm{cm}$ . Det er et avvik på $13 \, \mathrm{cm}$ , som er veldig mye.

Vurdering: Modellen passer godt for laksen på $3{,}2 \, \mathrm{kg}$ , men den er ikke gyldig for laksen på $5{,}8 \, \mathrm{kg}$ . Den lineære sammenhengen gjelder bare i en begrenset periode. For tyngre laks vil modellen gi for høye verdier for lengden. Gyldighetsområdet til modellen er begrenset til laks som ikke er for tunge, trolig opp til omtrent $3$ – $4 \, \mathrm{kg}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering

Lengde og vekt hos villaks

Sync på tvers av enheter

Lengde og vekt hos villaks

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave