Ledning delt til kvadrat og likesidet trekant – optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

En ledning er 10 meter lang. Ledningen skal kuttes i to deler. Den ene delen skal formes til sidene i et kvadrat. Den andre delen skal formes til sidene i en likesidet trekant.

Den delen som brukes til å forme trekanten, er $x$ meter lang.

Eksempler på deling av ledning for x=2, x=5 og x=8

For hånd

Forklar at arealet av kvadratet målt i kvadratmeter kan skrives som

F_{1} (x) = \frac{1}{16} {(10 - x)}^{2}

For hånd

Forklar at arealet av den likesidete trekanten målt i kvadratmeter kan skrives som

F_{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot x^{2}

For hånd

Undersøk hvordan ledningen må kuttes for at summen

F (x) = F_{1} (x) + F_{2} (x)

skal få sin minste verdi.

Fasit

$F_{1} (x) = \frac{1}{16} {(10 - x)}^{2}$

$F_{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot x^{2}$

Minste totalareal når $x = \frac{270 - 120 \sqrt{3}}{11} \approx 5,65 m$ brukes til trekanten (resten, ca. $4,35 m$ , til kvadratet).

LøsningsforslagKI-generert

Ledningen er $10$ meter lang, og $x$ meter av den brukes til trekanten. Da er de resterende $(10 - x)$ meterne omkretsen til kvadratet.

Et kvadrat har fire like lange sider, så sidelengden i kvadratet er

s_{kvadrat} = \frac{10 - x}{4}

Arealet av et kvadrat er sidelengden i annen, så

F_{1} (x) = {(\frac{10 - x}{4})}^{2} = \frac{{(10 - x)}^{2}}{16} = \frac{1}{16} {(10 - x)}^{2}

som er formelen som skulle vises.

Den delen av ledningen som er igjen til trekanten, er $x$ meter lang. En likesidet trekant har tre like lange sider, så sidelengden i trekanten er

s_{trekant} = \frac{x}{3}

Arealet av en likesidet trekant med sidelengde $s$ er $\frac{\sqrt{3}}{4} s^{2}$ (utledes for eksempel ved å dele trekanten i to rettvinklede trekanter og bruke Pytagoras for å finne høyden $h = \frac{\sqrt{3}}{2} s$ ). Dermed blir

F_{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{4} {(\frac{x}{3})}^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x^{2}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{36} \cdot x^{2}

som er formelen som skulle vises.

Totalarealet er

F (x) = F_{1} (x) + F_{2} (x) = \frac{1}{16} {(10 - x)}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{36} x^{2}, x \in [0, 10]

Vi finner $F^{'} (x)$ og løser $F^{'} (x) = 0$ i GeoGebra CAS.

Løsning i GeoGebra CAS

Fra utklippet er

F^{'} (x) = \frac{\sqrt{3}}{18} x - \frac{1}{8} (10 - x)

Likningen $F^{'} (x) = 0$ gir

x = \frac{270 - 120 \sqrt{3}}{11} \approx 5,65

Den andrederiverte er $F^{''} (x) = \frac{1}{72} (9 + 4 \sqrt{3})$ , som er en positiv konstant. Dermed er $F$ konveks (krummer opp overalt), og $x \approx 5,65$ gir et globalt minimum for $F$ på $[0, 10]$ .

Konklusjon: For at totalarealet skal bli minst mulig, må ledningen kuttes slik at

x = \frac{270 - 120 \sqrt{3}}{11} \approx 5,65 m

brukes til den likesidete trekanten, og de resterende $10 - x \approx 4,35 m$ brukes til kvadratet.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2010, del 2, oppgave 5-II
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon, Areal og omkrets

Ledning delt til kvadrat og likesidet trekant – optimering

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Ledning delt til kvadrat og likesidet trekant – optimering

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Ledning delt til kvadrat og likesidet trekant – optimering

Ledning delt til kvadrat og likesidet trekant – optimering

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer