Lailas dekorasjon av to like store sirkler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Laila er billedkunstner og har fått i oppgave å dekorere inngangspartiet i et rådhus. Hun har bestemt seg for å bruke geometriske figurer. Nedenfor ser du en av figurene hun vil bruke.

Figur 1: Figuren Laila vil bruke, med spissene C og A

Hun tegner figuren ved hjelp av to like store sirkler med sentrum i $B$ og $D$ . Se nedenfor.

Figur 2: To like store sirkler med sentrum i B og D som skjærer hverandre i A og C

Figur 3: Firkanten ABCD tegnet med fire røde linjestykker

Laila påstår at de fire røde linjestykkene i figur 3 har samme lengde.

For hånd

Forklar at dette er riktig.

For hånd

Hvor store er hver av vinklene i firkanten $A B C D$ ? Husk å begrunne svarene dine.

Arealet av figur 1 er gitt ved

A = (\frac{4 \cdot π - 3 \cdot \sqrt{3}}{6}) \cdot r^{2}

der $r$ er radius i sirklene Laila tegner.

Laila vil lage figurene ut fra sirkler med radius $r = 0,5 m$ . Hun har et spann med 5 L maling. På spannet står det at 1 L maling vil dekke $1 m^{2}$ .

Kalkulator

Har Laila nok maling til å male 16 figurer?

Fasit

Alle fire linjestykkene er radier i sirklene, så de har samme lengde $r$ .

$A = 60 °, B = 120 °, C = 60 °, D = 120 °$

$Ja, akkurat nok maling$

LøsningsforslagKI-generert

Punktene $A$ og $C$ er skjæringspunktene mellom de to sirklene. Det betyr at $A$ og $C$ ligger på begge sirklene.

$A$ og $C$ ligger på sirkelen med sentrum i $B$ . Da er $A B$ og $C B$ radier i denne sirkelen, så

A B = C B = r

$A$ og $C$ ligger også på sirkelen med sentrum i $D$ . Da er $A D$ og $C D$ radier i denne sirkelen, så

A D = C D = r

Siden begge sirklene har samme radius $r$ , er alle de fire linjestykkene

A B = B C = C D = D A = r

like lange. Dermed har Laila rett i påstanden sin.

Vi ser av figuren at sirklene er tegnet slik at senteret i den ene sirkelen ligger på den andre sirkelen. Det betyr at avstanden mellom sentrene også er lik radien:

B D = r

Trekant $A B D$ : Fra a) vet vi at $A B = A D = r$ , og vi har nettopp funnet at $B D = r$ . Alle tre sidene i trekant $A B D$ er dermed like lange, så trekanten er likesidet. I en likesidet trekant er alle vinklene $60 °$ , så

∠ A = ∠ D A B = 60 °

Trekant $C B D$ : På samme måte er $C B = C D = r$ og $B D = r$ , så også trekant $C B D$ er likesidet. Dermed er

∠ C = ∠ B C D = 60 °

Vinkel $B$ : Diagonalen $B D$ deler vinkel $B$ i firkanten i to like store deler, $∠ A B D$ og $∠ D B C$ , som begge er $60 °$ (toppvinkler i de likesidede trekantene). Da er

∠ B = ∠ A B D + ∠ D B C = 60 ° + 60 ° = 120 °

Vinkel $D$ : På samme måte deler $B D$ vinkel $D$ i $∠ A D B$ og $∠ B D C$ , som begge er $60 °$ , slik at

∠ D = ∠ A D B + ∠ B D C = 60 ° + 60 ° = 120 °

Kontroll: Vinkelsummen i en firkant er $360 °$ :

60 ° + 120 ° + 60 ° + 120 ° = 360 ° ✓

Svar: $∠ A = 60 °, ∠ B = 120 °, ∠ C = 60 °, ∠ D = 120 °$

Vi setter $r = 0,5 m$ inn i arealformelen for én figur:

A = (\frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{6}) \cdot r^{2} = (\frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{6}) \cdot {0,5}^{2} \approx 0,3071 m^{2}

Arealet av $16$ slike figurer blir da

16 \cdot 0,3071 m^{2} \approx 4,91 m^{2}

Ett spann med maling dekker $5 L \cdot 1 m^{2} / L = 5 m^{2}$ . Siden

4,91 m^{2} < 5 m^{2}

har Laila akkurat nok maling til å male alle $16$ figurene — med litt å gå på, ca. $0,09 m^{2}$ .

Svar: $Ja, Laila har akkurat nok maling$

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2020, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Sirkel, Argumentasjon, Areal og omkrets

Lailas dekorasjon av to like store sirkler

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Lailas dekorasjon av to like store sirkler

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Lailas dekorasjon av to like store sirkler

Lailas dekorasjon av to like store sirkler

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer