Punktet $B$ ligger på kvartsirkelen med radius $2$ og sentrum i origo $O$, så koordinatene til $B$ oppfyller sirkellikningen $x^2+y^2=4$. Siden vi er i første kvadrant, er

Rektangelet $OABC$ har hjørner $O=(\mathrm{0,0})$, $A=(x,0)$, $B=(x,\sqrt{4-x^2})$ og $C=(0,\sqrt{4-x^2})$, med sidelengder $x$ og $\sqrt{4-x^2}$. Arealet av rektangelet blir dermed

Arealet av hele kvartsirkelen med radius $2$ er

Det fargelagte området $F$ er kvartsirkelen med rektangelet $OABC$ fjernet, så

som var det vi skulle vise.

Vi deriverer $F(x)=\pi -x\cdot {(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}$ med produktregelen på leddet $x\cdot {(4-x^2)}^{\frac{1}{2}}$:

Dette gir

Vi setter $F^{\prime }(x)=0$:

For $0\le x<\sqrt{2}$ er $2x^2-4<0$, så $F^{\prime }(x)<0$ ($F$ avtar). For $\sqrt{2}<x\le 2$ er $2x^2-4>0$, så $F^{\prime }(x)>0$ ($F$ vokser). Dermed er $x=\sqrt{2}$ et minimumspunkt for $F$.

Minsteverdien er

Det minste arealet det fargelagte området kan ha, er $\underline{\underline{F_{\min }=\pi -2\approx \mathrm{1,14}}}$.