Kuleflate og tangentplan

En likning for en kuleflate $S$ er gitt ved

x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2z = 4

Bestem sentrum og radius til kuleflaten $S$ .

En annen kuleflate $K$ har sentrum i $(1, -1, 3)$ og radius $2$ .

Et plan $\alpha$ tangerer kuleflaten $K$ i punktet $P(3, -1, 3)$ .

Bestem en likning for plan $\alpha$ .

Et annet plan $\beta$ er gitt ved

3x + y - 2z + 1 = 0

Avgjør om plan $\beta$ vil skjære gjennom kuleflaten $K$ .

Fasit

Sentrum $(2,0,-1)$ , radius $3$

$x = 3$

Ja, planet skjærer kuleflaten

Løsningsforslag

Vi fullfører kvadratene i ligningen $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2z = 4$ :

\begin{aligned} (x-2)^2 - 4 + y^2 + (z+1)^2 - 1 &= 4 \\ (x-2)^2 + y^2 + (z+1)^2 &= 9 \end{aligned}

Sentrum er $\underline{\underline{(2,\, 0,\, -1)}}$ og radius er $\underline{\underline{r = 3}}$ .

Kule $K$ har sentrum $M(1, -1, 3)$ og radius $2$ . Vi sjekker at $P(3,-1,3)$ ligger på kula:

|MP| = \sqrt{(3-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 2 \checkmark

Normalvektoren til tangentplanet er $\overrightarrow{MP} = (2, 0, 0)$ .

Planet gjennom $P(3,-1,3)$ med normalvektor $(2,0,0)$ :

2(x-3) = 0 \implies x = 3

En likning for plan $\alpha$ er $\underline{\underline{x = 3}}$ .

Avstand fra sentrum $M(1,-1,3)$ til planet $\beta\colon 3x + y - 2z + 1 = 0$ :

d = \frac{|3\cdot1 + (-1) - 2\cdot3 + 1|}{\sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 - 1 - 6 + 1|}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \approx 0{,}80

Siden $d \approx 0{,}80 < 2 = r$ , vil planet $\beta$ skjære gjennom kuleflaten $K$ .

Planet $\beta$ skjærer gjennom kuleflaten $\underline{\underline{K}}$ .

Sensorveiledning

1 poeng for å finne sentrum og 1 poeng for å finne radius.

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng.

Kandidaten må ha en god begrunnelse for å få full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: vektorer, geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet