Kubisk funksjon med parallelle tangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $g$ er gitt ved

g (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $g$ i intervallet $[\frac{3}{2}, 2]$ .

Bestem $g^{'} (2)$ .

Grafen til $g$ har to tangenter med stigningstall lik $g^{'} (2)$ . Disse to tangentene tangerer grafen i henholdsvis punkt $A$ og punkt $B$ .

Bestem koordinatene $A$ og $B$ .

Fasit

$4$

$g^{'} (2) = 6$

$A (2,2), B (- 1, - \frac{5}{2})$

LøsningsforslagKI-generert

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[\frac{3}{2}, 2]$ er

\frac{g (2) - g (\frac{3}{2})}{2 - \frac{3}{2}}

Vi finner funksjonsverdiene:

g (2) = 2^{3} - \frac{3}{2} \cdot 2^{2} = 8 - 6 = 2

g (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{27}{8} - \frac{27}{8} = 0

Dette gir gjennomsnittlig vekstfart

\frac{2 - 0}{2 - \frac{3}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4

Vi deriverer $g$ :

g^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 x

Setter vi inn $x = 2$ :

g^{'} (2) = 3 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 = 12 - 6 = 6

Vi skal finne alle punkter der tangenten har stigningstall $g^{'} (2) = 6$ , altså løse

g^{'} (x) = 6

3 x^{2} - 3 x = 6

x^{2} - x - 2 = 0

(x - 2) (x + 1) = 0

x = 2 eller x = - 1

Det ene tangeringspunktet ligger i $x = 2$ : $g (2) = 2$ , altså $A (2,2)$ .

Det andre ligger i $x = - 1$ :

g (- 1) = {(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} = - 1 - \frac{3}{2} = - \frac{5}{2}

altså $B (- 1, - \frac{5}{2})$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2020, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Vekstfart, Tangent

Innstillinger