Funksjonen er $f(x)=-x^3+a{x}^2+bx-11$, og grafen har bunnpunkt i $(-1,-16)$. Det betyr at

Deriverer vi $f$, får vi $f^{\prime }(x)=-3x^2+2ax+b$.

Setter vi inn $x=-1$ i $f(x)=-16$:

Setter vi inn $x=-1$ i $f^{\prime }(x)=0$:

Legger vi sammen de to likningene $a-b=-6$ og $-2a+b=3$:

Setter vi $a=3$ inn i $a-b=-6$: $3-b=-6\Rightarrow b=9$.

Dermed er $f(x)=-x^3+3x^2+9x-11$.

Vi deriverer $f(x)=-x^3+3x^2+9x-11$:

Faktoriserer vi, finner vi først nullpunktene. Vi setter $f^{\prime }(x)=0$:

Siden $f^{\prime }(x)$ er et andregradsuttrykk med negativ ledende koeffisient (parabelen vender grenene nedover), er $f^{\prime }(x)$ positiv mellom røttene og negativ utenfor:

Grafen til $f$ synker for $x<-1$, stiger for $-1<x<3$ og synker igjen for $x>3$. Dette stemmer med at $(-1,-16)$ er bunnpunkt. I tillegg gir dette et toppunkt for $x=3$:

Toppunktet er $\underline{\underline{(3,16)}}$.

Dette bekreftes med CAS i GeoGebra (linje 2–3 i utklippet under, der g(x) er $f^{\prime }(x)$):

Vi deriverer $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+9$ en gang til:

Setter vi $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Fortegnslinje for $f^{\prime \prime }(x)$:

Grafen har altså et vendepunkt for $x=1$:

Vendepunktet er $\underline{\underline{(1,0)}}$ (se linje 4–5 i CAS-utklippet over).

Tangenter med stigningstall $9$ finner vi ved å løse $f^{\prime }(x)=9$:

(se linje 6 i CAS-utklippet).

Tangent i $x=0$: $f(0)=-11$. Tangentpunktet er $(0,-11)$, og likningen blir

Tangent i $x=2$: $f(2)=-8+12+18-11=11$. Tangentpunktet er $(2,11)$, og likningen blir

(verdiene $f(0)=-11$ og $f(2)=11$ er bekreftet i linje 7–8 i CAS-utklippet).

Grafen til $f$ er tegnet under, sammen med tangentene $y=9x-11$ og $y=9x-7$ fra d):

Likningen $f(x)=9x+b$ tilsvarer å finne skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og en rett linje med stigningstall $9$ og konstantledd $b$. Alle linjer med stigningstall $9$ er parallelle med de to tangentene fra d).

Flytter vi linja $y=9x+b$ oppover og nedover langs grafen (mens stigningstallet holdes fast på $9$), ser vi av grafen at linja skjærer $f$ i tre punkter nettopp når den ligger mellom de to tangentlinjene — det vil si når linja ikke er for lav (da bare ett skjæringspunkt til høyre) og ikke for høy (da bare ett skjæringspunkt til venstre).

• Tangenten $y=9x-11$ tilsvarer $b=-11$. For $b\le -11$ har linja bare ett skjæringspunkt (eller tangerer i ett).
• Tangenten $y=9x-7$ tilsvarer $b=-7$. For $b\ge -7$ har linja bare ett skjæringspunkt (eller tangerer i ett).

Mellom disse to verdiene skjærer linja grafen i tre forskjellige punkter: