Kostnadsoptimal og vinningsoptimal produksjonsmengde

Totalkostnaden i kroner ved produksjon av en vare er gitt ved

K(x) = 0{,}1x^2 + 70x + 4000 \qquad , \qquad 0 < x < 2000

Her er $x$ antall produserte enheter per uke.

Inntekten i kroner ved denne produksjonen er gitt ved

I(x) = -0{,}05x^2 + 280x \qquad , \qquad 0 < x < 2000

Bestem $K'(500)$ og $I'(500)$ . Bruk svarene til å vurdere om bedriften bør produsere flere enn 500 enheter.

Bestem den vinningsoptimale produksjonsmengden, det vil si den produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Bestem den kostnadsoptimale produksjonsmengden, det vil si den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.

Fasit

$K'(500) = 170$ , $I'(500) = 230$ . Bedriften bør produsere flere enn 500 enheter.

$\underline{\underline{x = 700}}$

$\underline{\underline{x = 200}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $K(x)$ og $I(x)$ og setter inn $x = 500$ :

K'(x) = 0{,}2x + 70 \qquad \Rightarrow \qquad K'(500) = 0{,}2 \cdot 500 + 70 = 100 + 70 = \textcolor{seagreen}{170}

I'(x) = -0{,}1x + 280 \qquad \Rightarrow \qquad I'(500) = -0{,}1 \cdot 500 + 280 = -50 + 280 = \textcolor{steelblue}{230}

Siden $I'(500) = \textcolor{steelblue}{230} > \textcolor{seagreen}{170} = K'(500)$ , er grenseinntekten større enn grensekostnaden ved $x = 500$ . Det betyr at én ekstra produsert enhet øker inntekten mer enn kostnaden, og bedriften bør produsere flere enn 500 enheter.

Overskuddet er $O(x) = I(x) - K(x)$ , og overskuddet er størst når $O'(x) = 0$ .

O'(x) = I'(x) - K'(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad I'(x) = K'(x)

Vi setter grenseinntekt lik grensekostnad:

-0{,}1x + 280 = 0{,}2x + 70

210 = 0{,}3x

x = \frac{210}{0{,}3} = 700

Den vinningsoptimale produksjonsmengden er $\underline{\underline{x = 700}}$ enheter per uke.

Kostnad per enhet (enhetskostnad) er

G(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{0{,}1x^2 + 70x + 4000}{x} = 0{,}1x + 70 + \frac{4000}{x}

Vi minimerer $G(x)$ ved å sette $G'(x) = 0$ :

G'(x) = 0{,}1 - \frac{4000}{x^2} = 0

\frac{4000}{x^2} = 0{,}1

x^2 = \frac{4000}{0{,}1} = 40\,000

x = 200 \qquad (x > 0)

Den kostnadsoptimale produksjonsmengden er $\underline{\underline{x = 200}}$ enheter per uke.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Grenseinntekt og grensekostnad

Kostnadsoptimal og vinningsoptimal produksjonsmengde

Sync på tvers av enheter

Kostnadsoptimal og vinningsoptimal produksjonsmengde

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave