Kostnadsgraf med tangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren har vi tegnet grafen til en kostnadsfunksjon $K$ (blå graf) og en inntektsfunksjon $I$ (rød graf). Her er $K(x)$ de daglige kostnadene ved å produsere og selge $x$ enheter, og $I(x)$ er de daglige inntektene ved å selge $x$ enheter. Både kostnader og inntekter er regnet i kroner.

Kostnadsgraf K og inntektsgraf I med tangenter g og h

På samme figur har vi også tegnet inn to tangenter til grafen til $K$ . Disse er gitt ved

g(x) = 100x - 2613

h(x) = 62{,}5x + 3850

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge daglig for at den skal ha et overskudd?

Bestem grensekostnaden ved produksjon og salg av 100 enheter.

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

Bedriften har overskudd når den produserer mellom 100 og 400 enheter daglig.

$K'(100) = 62{,}5$ kr per enhet.

Overskuddet er størst ved produksjon av 250 enheter.

LøsningsforslagKI-generert

Bedriften har overskudd når inntektene er større enn kostnadene, det vil si når $I(x) > K(x)$ .

Fra grafen ser vi at den røde grafen $I$ ligger over den blå grafen $K$ mellom skjæringspunktene $A$ og $C$ . Vi leser av at $A$ ligger ved $x = 100$ og $C$ ved $x = 400$ .

Bedriften har overskudd når den produserer og selger mellom 100 og 400 enheter daglig, altså for $x \in \langle 100, 400 \rangle$ .

Grensekostnaden ved $x = 100$ er det samme som den deriverte $K'(100)$ , som er lik stigningstallet til tangenten til $K$ i punktet $x = 100$ .

Fra grafen ser vi at punkt $A$ ved $x = 100$ er berøringspunktet for tangenten $h(x) = 62{,}5x + 3850$ .

Stigningstallet til $h$ er $62{,}5$ , så

K'(100) = 62{,}5

Grensekostnaden ved produksjon av 100 enheter er 62,5 kr per enhet.

Overskuddet $O(x) = I(x) - K(x)$ er størst der grafen for $I$ og grafen for $K$ har størst avstand. Dette skjer når de to grafene har samme stigningstall, det vil si der tangenten til $K$ er parallell med $I$ .

Fra grafen ser vi at $I(x)$ er en rett linje med stigningstall $100$ (tangenten $g(x) = 100x - 2613$ er parallell med $I$ ). Overskuddet er størst der tangenten til $K$ også har stigningstall $100$ , og dette er i berøringspunktet til $g$ på grafen til $K$ .

Vi leser av punkt $B$ på grafen og ser at dette skjer ved $x = 250$ .

Bedriften må produsere og selge 250 enheter daglig for å få størst mulig overskudd.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Graftolkning

Kostnadsgraf med tangenter

Sync på tvers av enheter

Kostnadsgraf med tangenter

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave